朱祥
杭州市余杭区五常中心小学 浙江 杭州 310023
【摘要】操作活动是低段数学教学中的一种重要的组织形式。通过操作活动，可以让学生的数学思维外化、可视。因此，笔者从“理解数学概念的内涵”“构建四则运算结构”“探索问题解决的思路”三个方面着手，设计适合低段数学教学的操作活动并加以实施，其目的在于借助操作活动，促进学生数学思维能力的发展。
【关键词】操作活动;数学概念;四则运算;问题解决
组织操作活动是低段数学教学中的一种重要的组织形式。通过操作活动，可以让学生的数学思维外化、可视。有利于学生实现数学概念的抽象，计算法则的理解，和解决问题思路的形成，从而积累经验、感悟思想。在实际的课堂教学中，虽然操作活动越来越受到教师的关注，但是重“做题”轻“操作”的现象还是存在。笔者认为：如果操作活动只停留于活动，不能够及时地引导学生进行抽象、概括，或者不能够选择合适的操作活动形式，则起不到操作活动应有的作用。那么，怎样依据低段年级学生的年龄特点，设计并实施有效地操作活动，促进学生的数学思维呢？笔者进行了教学实践，并列举数学概念、四则运算和问题解决这三个方面的实践案例，阐述我们的做法。
一、理解数学概念内涵中的操作活动
概念是人脑对客观事物本质属性的概括，数学概念则是从数学的视角对客观事物本质属性的概括。抽象性是数学概念的基本特征。而低年级学生的思维水平却还处于形象思维阶段。因此，对抽象的数学概念的了解与理解，借助直观的操作活动是重要的手段。
（一）理解数的概念中的操作活动
低段年级学习的数包括整数、分数与小数，整数的认识中计数单位的认识是关键，如何让学生感知十进制下计数单位逐步生成的过程？结合具体的操作活动，让学生逐步感知是很好的策略。
例题描述案例1：人教版二年级下册《1000以内数的认识》（如下图）
【操作设计】
第一个环节：数一数。引导学生一个一个地数，10个一是十，十个十个地数，10个十是一百，一百一百地数，10个百是一千。
第二个环节：拨一拨。（如下图所示）
出示计数器，学生动手操作，一个一个地拨，10个一是十，十个十个地拨，10个十是一百，一百一百地拨，10个百是一千。从而引导学生发现：个位满十向十位进1，十位满十向百位进1，百位满十，向千位进1。我们就说每相邻的两个计数单位之间的进率10。
通过操作活动让学生经历一而十，十而百，百而千的过程，让学生自主发现“满十进一”，为学生系统认识计数单位，以及相邻的两个计数单位的十进关系积累了感性的经验。夯实学生对数位和计数单位的认识，深化对“十进制”数学思想的感悟。
（二）理解图形概念中的操作活动
低年级的图形概念中一个重要的内容是能辨认长方体、正方体、圆柱、球这4个立体图形的特征，通过动手操作能把学生的多种感官充分地调动起来，也可以使图形的特征更加凸显出来，增强学生的直观感知能力。
例题描述案例2：人教版一年级上册《认识立体图形》（如下图）
【操作设计】
第一个环节：摸一摸。引导学生摸一摸这些物体，在摸的活动中认识这些物体的名称，并初步感知这些物体的特点，感受数学与生活的联系。。
第二个环节：分一分。引导学生借助列表把这些物品归为4类(如下图)
并在此基础上抽象出长方体、正方体、圆柱、球这4种立体图形的模型，使学生对每一种图形名称，都建立丰富的表象，渗透分类的数学思想。
第三个环节：说一说。组织学生用自己的语言，描述长方体、正方体、圆柱、球的特点。
第四个环节：找一找。找出身边长方体、正方体、圆柱、球。
通过摸一摸、分一分、说一说、找一找等一系列的操作活动，有意识地促进学生把长方体、正方体、圆柱、球这些立体图形的特征进行内化，从而获得直观感知立体图形的活动经验。
（三）理解测量概念中的操作活动
低年级的测量中包含让学生在实践活动中体会并认识长度单位，长度单位毫米在生活中不如厘米和米那么常见，需要通过估计、测量等活动，让学生明确毫米产生的意义，这部分内容的实践性较强，需要学生在操作中去体验和感知。
例题描述案例3：人教版三年级上册《毫米的认识》（如下图）
【操作设计】
第一个环节：指一指。（如下图所示）
图① 图②
引导学生在尺子上指出1毫米。学生用笔尖指出尺子上两根短线之间的1小格就是1毫米（如图① ）；请学生继续指出其他的1毫米（如图②）。发现：尺子上任意1小格的长度都是1毫米。
第二个环节：画一画。引导学生们在自己的练习本上画出1毫米长的线段。画完后，让学生说说自己的感受：1毫米真的好短呀！这样，帮助学生建立1毫米的初步感觉。
第三个环节：找一找。请学生从学具盒中找出厚度大约是1毫米的物品。学生会找到1分硬币的厚度大约是1毫米，尺子的厚度大约是1毫米，卡片的厚度接近1毫米。
第四个环节：比一比。（如下图所示）
让学生用手势比划表示1毫米的长度，有的学生发现因为尺子的厚度大约是1毫米，可以用手指捏住尺子，再把尺子从中抽出来，这两根手指之间的距离大约就是1毫米了。
第五个环节：数一数。放手让学生去数1厘米里有多少毫米，学生数完后提问：其他的1厘米里面是不是也有10个1毫米呢？学生再次在尺子上找出任意一个1厘米数一数，发现1厘米=10毫米。
第六个环节：量一量。（如下图所示）
让学生测量数学书的厚度，感受到测量不足1厘米的长度时，可以用毫米来表示。
在指一指的活动中，让学生认识到尺子上的任意1小格的长度都是1毫米。在画一画的活动中，让学生得到了1毫米很短的初步感受。在找一找的活动中，利用1分的硬币厚度、尺子的厚度、卡片的厚度，这些丰富的实物，进一步帮助学生为建立1毫米的表象提供支撑。在比一比的活动中，让学生用手势比划出1毫米的长度，积累了活动的经验。在数一数的活动中，让学生发现了厘米和毫米之间的关系。在量一量的活动中，让学生感受到了学习毫米的必要性。同时，为学生提供了观察、比较、估计、测量、验证、表达等空间。在这个过程中，内化对1毫米表象的建立，帮助学生积累了基本的数学活动经验。
二、构建四则运算结构中的操作活动
数的运算是小学数学教学的基本内容。计算教学需要学生在直观中理解运算的意义、算理、也需要让学生掌握抽象的算法。借助操作活动可以让学生体验算理直观化到算法抽象化的过渡，帮助学生达到对算理的深度理解和对算法的扎实把握，有助于学生数学思维能力的提高。
（一）理解运算的意义中的操作活动。
四则运算除了求得结果，更在于对运算意义的深刻理解。低年级教学除法运算中包含《有余数的除法》这一内容，如何帮助学生理解余数和有余数除法运算的含义，并会用除法算式表示出来，理解余数要比除数小的道理，可以借助以下的操作活动来实现。
例题描述案例4：人教版二年级下册《有余数的除法》（如下图）
【操作设计】
第一个环节：用6根小棒摆一摆。请学生边说边摆：将6根小棒，每2根摆一份。（如下图所示）
引导学生将摆的过程用一个算式表示出来，随着学生的汇报，教师板书：6÷2=3。让学生来说一说算式中的每个数字表示的含义。
第二个环节：用7根小棒摆一摆。请学生边说边摆：将7根小棒，每2根摆一份。（如下图所示）
引导学生发现在摆的过程中，发现剩下了1根小棒。请学生把刚才摆的过程用算式表示出来。根据学生的汇报板书：7÷2=3（个）……1（个），让学生来说一说算式中的每个数字表示的含义。
第三个环节：用小棒摆正方形。各小组准备了不同数量的小棒，小组合作用小棒摆出独立的正方形（如右图所示），并把用的小棒根数、摆的结果及所列的算式写在下面的记录单上。
小棒根数 摆的结果 算式
学生进行操作活动后组织交流，随着交流教师及时在黑板上完成板书（如下图所示）。
让学生观察这些算式及算式中的余数，学生通过比较发现如果余数等于或大于除数在这里就又可以摆出一个正方形了，从而理解了在除法算式中余数要比除数小的道理。
每个学生都可动手操作，在这样的操作活动中，让学生实现了由直观形象到符号抽象的过渡。在这一过渡形成了新的数学模型，即余数的概念，帮助学生沟通了操作活动、语言表达和算式之间的联系。
让学生更好地理解了余数和有余数除法运算的含义，理解余数要比除数小。
（二）理解算理中的操作活动
计算的教学中，要让学生直观地理解算理。那么，如何将抽象、枯燥的两位数乘一位数的口算教学变得直观形象？通过操作活动就可以使学生理解口算算理，掌握口算的方法。
例题描述案例5：人教版三年级下册《两位数乘一位数（进位）口算》（如下图）
【操作设计】
第一个环节：算一算。让学生根据情景图尝试列算式计算得出15×3=45（盒）。
第二个环节：摆一摆。让学生用小棒边摆边说口算的方法。
第三个环节：说一说。交流汇报：（如下图所示）
展示学生方法。方法一：15+15+15=45；方法二：10×3=30 5×3=15 30+15=45。引导学生评价这两种方法。方法一：比较繁琐，如计算15×9，一个一个加要加9次很麻烦。方法二：把两位数拆成一个整十数和一位数，计算比较简便。让学生根据刚才摆小棒的过程来说说方法二这种口算的方法：把15分成10和5，先算10×3=30，再算5×3=15，最后30+15=45。
通过动手操作，使学生经历了两位数乘一位数口算方法的形成，理解了把两位数拆成一个整十数和一位数分别去跟一位数相乘，然后把两次相乘的结果相加，这样计算的道理。
（三）掌握算法中的操作活动
在低年级的计算教学中，不仅要让学生直观理解算理，还要让学生掌握抽象的计算方法。教学《9加几》时，引导学生借助摆小棒的操作活动，帮助学生非常形象地理解了“凑十”这一抽象的方法。
例题描述案例6：人教版一年级上册《9加几》（如下图）
【操作设计】
第一个环节：算一算。学生尝试计算得出9+4=13
第二个环节：摆一摆。让学生用小棒边摆边说口算的方法。
第三个环节：说一说。交流汇报：（如图所示）
引导学生说出：9根小棒加上4根小棒，如果从4根小棒中拿出1根给9根，9根添上1根就是10根（捆成一捆），4根拿走1根还剩3根，10+3就等于13，所以9+4=13。
通过操作活动很好地帮助学生理解了“凑十”这一抽象的方法，这是学生从具体形象思维向抽象思维过渡的桥梁，也为接下来继续学习8、7、6加几，打下了扎实的基础。
三、探寻问题解决思路中的操作活动
问题解决是数学教学的核心，是数学学习的主要方式。它是将数学与生活紧密联系的纽带，将学到的知识应用于生活能激发学生探寻的欲望，培养创新精神在解决问题的过程中通过操作活动，帮助学生挖掘数学本质，对学生思维的发展发挥着重要的作用。
（一）探寻非数量关系问题解决思路中的操作活动
在低年级的认识图形中，如何让学生进一步感知长方形、正方形、三角形、平行四边形等平面图形的特征，解决“让学生用一套七巧板拼三角形，看谁拼得多”的问题，设计多层次的拼摆活动是有效的教学手段。
例题描述案例7：人教版一年级下册《解决问题》（如下图）
【操作设计】
第一个环节：拼一拼。按照学生自己的想法动手拼一拼，看谁的三角形拼的最多。
第二个环节：说一说。独立操作后，交流汇报：（如图所示）
图① 图②
第一种情况 （图① ）：只用2个三角形拼的。第2种情况（ 图②）：用3块图形拼的。让学生发现：拼的时候可以全部使用三角形，也可以加入其它的图形去拼。
第三个环节：再拼一拼。请学生再次用一套七巧板拼三角形，然后同桌之间相互交流。（如图③、图④、图⑤）
图③ 图④ 图⑤
通过用七巧板拼三角形的操作活动，进一步加深学生对长方形、平行四边形、三角形、正方形这些平面图形特征的认识，初步获得分析问题、解决问题的基本思路。
（二）探寻数量关系问题解决思路中的操作活动
低年级学生的思维还是以形象思维为主，如何让学生理解并有效解决含有“归总”数量关系的问题？在教学活动中，我们可以让学生通过读一读、画一画、说一说、算一算等操作活动来理解题意，分析题目中的数量关系，找到合适的解题方法是很有效的教学手段。
例题描述案例8：人教版三年级上册《用乘除两步解决问题》（如下图）
【操作设计】
第一个环节：读一读。出示例9，让学生自由读题，理解题意。
第二个环节：画一画：让学生用画示意图的方法表示题意。
第二个环节：说一说。对比交流。（如下图所示）
图① 图②
引导学生通过对比发现：图①不能清楚地表示出来买的两种碗用的是同样多的钱。 图②第一条线段中每一小段表示每个碗的价格是6元，买6个就画6小段。第二条线段与第一条画同样长，表示还是用这些钱买碗，每小段表示每个碗的价格是9元，能买几个就画几段。所以能比较清楚地表示出题目的意思。请学生修改自己画的示意图。
第三个环节：算一算。借助线段图，列式解答。6×6=36（元） 36÷9=4（个），列出综合算式：6×6÷9=4（个）
在这样的操作活动中，让学生抓住了解决问题的关键：要解决“用这些钱买9元一个的碗，可以买几个？”必须先求这些钱的总价是多少？从帮助学生提高了分析问题和解决问题的能力。
（三）探寻数学广角问题解决思路中的操作活动
低年级数学广角包含《搭配中的学问》这一内容，让学生通过摆、写、画、说等操作活动，在解决问题的过程中掌握搭配的方法，培养有序、全面思考问题的能力。
例题描述案例9：人教版三年级下册《搭配中的学问》（如下图）
【操作设计】
第一个环节：摆一摆。出示主题图：一共有多少种不同的穿法？让学生先想一想，然后拿出学具摆一摆。然后再请1名学生用教具在黑板上摆，并指出6中搭配的方法。
第二个环节：写一写、画一画。请学生把搭配的方法记录在纸上。
第三个环节：说一说。交流反馈（如下图所示）：
图① 图② 图③
引导学生评价一下这些方法。第一种（图①）方法比较费时，第三种（图③ ）最简洁、方便。
让学生先用摆一摆来理清题目的思路，初步感悟有序思考的思想；再用写一写、画一画的活动将实物用符号建立联系，最后用说一说的方式进一步理清有序思考的数学思想。
总之，笔者认为，教师在教学中不仅要关注学生学习的结果，更要关注过程。在获得知识技能的过程中，学生只有积极参与教师精心设计与组织的操作活动，才能帮助学生亲身体验知识的形成过程，把枯燥、抽象的数学知识变得直观形象。因此，笔者让学生经历了理解数学概念的内涵，构建四则运算的结构，探索问题解决的思路三个方面的操作活动，在“做”与“思考”的过程中积累了数学活动经验，加深理解了数学的思想和方法。在课堂教学中，教师要注重结合具体的学习内容，多提供机会，让学生进行操作活动，改变单一的学习模式，通过动脑、动手、动口多重感官一起参与学习，使我们的学生更容易理解和吸收知识。让我们的学生借助操作活动，掌握数学的基本知识，提高数学的实践能力，更重要的是促进数学思维的发展。
参考文献：
[1]高巍. 以活动促内化 借变式求明晰.教学月刊（小学版数学）2017，5
[2]徐炎. 例谈低段解决问题教学中的多元表征.教学月刊（小学版数学）2017，5
[3]季国栋. 充实学习活动 厚实学习过程.小学数学教师.2019，5
[4]周新高. 搭建数学活动平台要有“四种意识”.教学月刊（小学版数学）2018，5
[5]王雪飞. 智慧导学，让学生循序建构数感.教学月刊（小学版数学）2018，5