王微广
西咸新区泾河新城泾华学校 陕西 西咸新区 713700
摘 要：文章采取分类讨论的思想并结合具体实例分别介绍了相似变换法、特征多项式法、乘法结合律方法、二项式展开法、分块对角矩阵法、数学归纳方法、标准形法等多种方法。其中，数学归纳法适用于计算有规律形的矩阵；二项施展开法适用于可以拆分为计算比较简单的矩阵加法的矩阵；特征多项式法适用于特征多项式求解比较简单的矩阵；相似变换法适用于
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可以化为对角矩阵的矩阵；乘法结合律法适用于的矩阵；分块对角矩阵法适用于阶数较高可以分成分块对角形的矩阵. 这些方法的研究为n阶方阵的高次幂的
计算提供了参考。
关键字：矩阵的幂；对角矩阵；分块矩阵；
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标准形；特征值多项式；
1 预备知识
1.1 矩阵的幂的概念及其运算律
在矩阵的运算中，乘法是经常用到的一种运算.尤其是，当一个矩阵为方阵时，我们可以定义为矩阵与它自身的乘法运算，也就是矩阵的幂.
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1.3 矩阵相似变换法概念
定义：对矩阵A施行的的下列三套初等变换，称为矩阵的相似变换.
（1）把A的第
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行互换，接着把所得新矩阵的
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列互换；
（2）把A的第
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行乘以常数C，接着把所得新矩阵的列乘以
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；
（3）把A的第
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行的k倍加到第
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行，把所得新矩阵的第
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列的-k倍加到第
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列
引理 任意方阵A经相似变换后所得新矩阵与相似.
2 阶方阵的高次幂的计算方法及应用实例
2.1 利用数学归纳法求解方阵高次幂
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2.2 利用二项式展开法求解方阵高次幂
当n阶矩阵A可以拆分为为A=F+G,且矩阵F与G的高次幂比较好运算，FG=GF（也就是F与G可以相互交换位置，不然二项展开公式不成立），那么就会有
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．
特别注意：如果n阶矩阵A的主对角上元素相同，那么A就可以表示为一个纯量矩阵kE与另外一个矩阵G的和，也就是A=kE+G，并且G的高次幂比较好计算，所以用这种方法就比较方便．
由二项式定理得：
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2.5 利用分块对角矩阵求解方阵高次幂
如果阶方阵的阶数比较高时，那么就可以通过用一些横线和竖线把方阵拆分成多个小块，这些小块称为该方阵的子阵.如果阶矩阵可分成分块对角阵的形式，就能把高阶矩阵的高次幂计算问题改变为一些简单子阵的高次幂的运算问题，这样就可以简便运算。
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2.6 利用相似变换法求方阵的高次幂
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3. 结束语
当给定的方阵阶数较大时，计算起来是比较麻烦的.目前，对于矩阵高次幂的运算问题，有许多人进行过讨论，文章在他们的前提下，以分类讨论的方法以及结合具体的例子对数学归纳法、相似变换法、标准型求解法、特征多项式法、分块对角矩阵法、二项式展开法、乘法结合律等多种方阵高次幂求解的方法进行了研究，多种方法的介绍或许为大家计算阶方阵的高次幂提供了一个参考，但由于作者知识水平及时间关系，可能还有一些更好的方法在此没有给出，望大家多多探讨研究。
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