楼怡林
浙江省杭州萧山区北干街道金惠初级中学
【摘要】数学抽象是数学核心素养的重要组成部分，以“二元一次方程”为例，让学生以问题为导向，围绕构建方程、类比归纳、求解运算三个环节展开学习，从中提升数学抽象素养。在教学实践中要落实数学抽象素养，要以多样性问题为导向，发展个性抽象能力；整体性问题为导向，让数学抽象螺旋上升；探究式问题为导向，让数学抽象自然发生。
【关键词】数学抽象；问题导向；整体；建模
数学抽象是指对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。[1]数学抽象是数学概念形成的基础，贯穿于整个数学的产生、发展与应用过程。因此，教学过程中强调数学抽象素养的培养是数学学习的内在要求，培养数学核心素养的根本措施。所以在课堂中培养学生数学抽象也显得尤为重要。本文以“二元一次方程”一课为例，探究在课堂中以问题为导向，如何自然渗透数学抽象素养。
一、明晰整体结构，承载核心素养
《二元一次方程》是浙教版七年级下册第二章章节起始课，在此前，学生已有了一元一次方程的学习经验，基本具备自主学习能力，但是学生却缺乏“建模”意识，也难以将“二元一次方程”视作“多元一次方程”的典例，进而不能类比迁移。所以在教学中，意在让学生通过问题串的引导，经历二元一次方程概念的发生过程，明确概念的外延与内涵，抽象出二元一次方程的一般形式，以此渗透学生数学抽象素养。本节课在问题串的引导下，围绕“构建方程”、“类比归纳”和“求解运算”三个教学环节进行展开，整体结构如图1。
图1 教学整体结构图
通过“构建方程”，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题，构建数学模型，培养数学抽象素养；通过“类比归纳”，让学生抓住“元、次”本质特点高度抽象出概念内涵，锻炼数学抽象素养；通过“代入”到“表示”的，由数到式的求解运算体验，对二元一次方程“转化求解”，让学生在求解方程的同时，提升数学抽象素养。三个看似独立的教学环节，实际上相互融合渗透，让学生在学习过程中培养思维能力，锻炼学习能力，自然提升数学核心素养[2]。
二、重现教学过程，渗透核心素养
（一）从现实到数学，在建模中渗透数学抽象素养
构建方程，让学生能从现实生活中或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号表示数学问题中的数量关系和变化规律。在列方程的过程中，学生积极寻找各个数量之间关系，通过构建方程，实现实际问题到数学问题的转化，充分培养了学生的数学建模素养。
【环节1】：创设情境，回顾旧知
师：同学们，首先我们来看校园里发生的一个数学问题：学校停车场停有自行车和三轮车共8辆，已知一共有20个轮子，请问自行车和三轮车各有几辆？能根据题意列出方程吗？
生1：设自行车x辆，三轮车（8-x）辆。列
师：这是一个什么方程？
生2：一元一次方程。
师：什么是一元一次方程？
生3：含有一个未知数，未知数次数是一次的方程是一元一次方程。（板书概念）
师：根据以前的经验，列完方程，我们接下来要研究什么？
生4：怎么解方程。
师：那什么是方程的解呢？
生5：使方程左右相等的未知数的值叫作方程的解。（板书解的定义）
师：请大家对该方程进行求解，并在脑海里回顾一元一次方程的解题步骤。
（请学生简要阐述，教师板书）
【环节2】：变式建模，类比命名
师：现在将题目稍作改变，学校停车场停有自行车和三轮车若干辆，已知一共有20个轮子，请问自行车和三轮车各有几辆？你能列出怎样的方程？
生6：设自行车x辆，三轮车y辆。列方程为2x+3y=20。
生7：我设自行车为x辆，一共y辆，则三轮车（y-x）辆。列方程为2x+3（y-x）=20，即3y-x=20。（教师板书两个方程）
师：这是什么方程？你能类比着尝试给它命名吗？
生8：二元一次方程。（板书课题）
教学分析：经历一元一次方程的应用过程，从情境中抽象出数学模型，复习回顾一元一次方程的研究路径，激活学生对旧知的回忆，为类比学习二元一次方程创设条件。对原题进行变式，更容易点燃学生解决问题的兴趣，进行再次构建模型，未知数不同的设法会产生截然不同的模型，但是数量关系不会发生改变。对比一元一次方程与“新方程”，明确“元”与“未知数”之间的联系，对比一元一次方程与新方程，自主给新方程命名。
（二）从实例到概念，在类比归纳中渗透数学抽象素养
类比归纳，舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象。从具体背景出发，抽象出一般规律和结构，最后并用文字语言与数学语言对二元一次方程的概念予以表征。通过类比与对比一元一次方程，归纳出本质特征，得到二元一次方程的概念与一般形式，培养学生的数学抽象素养。
【环节3】：对比联系，精致概念
师：联系刚刚给出的两个方程2x+3y=20，3y-x=20，能否类比一元一次方程的定义，尝试给出二元一次方程的定义？
生9：含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。
（教师板书学生给出的定义）
师追问：其他同学们有不同的意见吗？
生10：二元一次方程也是一个整式方程。（教师补充板书）
师：这下还有补充吗？（学生没有反应）
师继续追问：满足未知数的次数是1的方程一定是“二元一次方程”吗？（同时投影
），这个方程也是二元一次方程吗？它与之前给出的两个方程有什么不同？
生11：不是。该方程中含未知数的项次数为2，与前面的两个方程项次数不同。
师：所以对这个“一次”，还要考虑到“含有未知数的各个项的次数”，那这个“一次”应该如何修改？
生12：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是1的方程，叫作二元一次方程。
问题1：尝试自己写出3个二元一次方程。
教学分析：能从实例中揭示出概念的本质属性，建立与元认知结构中的有关概念的联系，通过类比，明确方程中“元”与“次”，通过对实例的对比，矫正“定义”，将数学概念进一步精致化，最后用符号抽象出一般规律，能培养学生数学符号表达能力及抽象思维能力。
（三）由“代”及“表”，在运算中渗透数学抽象素养
求解运算，经历代入、两个未知数的互相表示的过程，让学生充分理解运算算理，寻求合理简洁的运算途径。两种求解方法，归根结底即将二元一次方程转化为一元一次方程进行求解，从代入特殊值到用一个未知数表示另一个未知数，寻找两个未知数之间的关系，抽象出两个变量取值的一般规律，让学生能灵活应用算法，培养运算中的数学抽象素养。
【环节4】：揭示本质，转化求解
师：根据一元一次方程的研究过程，我们接下来要对二元一次方程进行什么研究？
生14：二元一次方程的求解。
师：什么是方程的解？
生15：使方程左右两边的值相等的未知数的值:。
师：二元一次方程有两个未知数，解的形式会改变，所以解用“
”的形式来表示。那同学们，请你们来判断一下，以下几组是这个方程的解吗？怎么判断？
（给学生以形式的刺激与感受，其中两个是方程的解，其中一个不是）
生16：代入后判断其能否使等式左右两边相等即可。
师：那这个方程还有其他解吗？你能否尝试求出
这个方程的解。
（展示学生求解成果）这个解你们是怎么得到的？根据求解情况，你能得出什么结论？
生17：确定其中一个未知数x的取值，相应地可以得出y的值。所以二元一次方程有无数个解。
师追问：若对未知数x代入特殊值，y的值也就确定下来了，为什么？
生18：这一过程将二元一次方程转化为关于y的一个一元一次方程。
师：所以我们可以发现，只要x值确定了，y的值也会随之确定下来。也就是，y的取值与x的取值之间存在着某种关系，所以可以用含x的代数式来表示y吗？请列出式子并用其对二元一次方程求解。
生19：
的值即可。
师：通过刚才的探究不难发现，二元一次方程有无数多个解，那现在我用二元一次方程这个模型去解决情境中的实际问题，它又应该如何求解呢？（重现情境变式）
练习：学校停车场停有自行车和三轮车若干辆，已知一共有20个轮子，请问自行车和三轮车各有几辆？（请用二元一次方程解决问题）有几组解？
生20：先用含x的代数式将y表示出来，但是这不再有无数多组解，因为x,y只能取整数,所以解的个数也是有限的。
师：由此可见，随着对二元一次方程限制条件的加强，解的个数会减少。
【环节5】：整理反思，构建体系
师：今天我们主要研究了一个方程：二元一次方程，通过类比，得到其定义及解法。但更重要的是，能够从现实情境中抽象出数学问题，学会用数学眼光看待世界，解决问题。
教学分析：二元一次方程的求解过程，是自然的过程，随着问题的提出到问题的解决，这正是对学生运算能力的培养。根据以往的学习经验，学生容易想到解法一，即选择其中一个未知数代入特殊值，将其化归为一元一次方程后求解。但其实究其根本，不难发现每一个x值，对应的都有一y值与之对应，进一步思考，本质上正是因为x,y两个变量取值之间满足一般规律,蕴含着函数思想，也为以后函数的学习做好准备，最后在教师的引导下：能否将x当作常数，用含x的代数式来表示y？学生对解法二进行有序探索，发现该运算背后的一般规律与本质特征。从数到式，从代入到表示，展现了理性具体到理性一般的抽象，通过层层递进的问题设计，揭示运算本质特点，寻求方程一般解法。
三、重视教学反思，落实核心素养
无论是从情境到数学的建模过程，从实例到概念的生成过程，还是从代入到表示的运算过程，无一不在问题的引导下，渗透了数学抽象素养。但是数学抽象的培养，如何在课堂教学中得到落实，仍需要进一步的思考。
（一）多样性问题为导向，发展个性抽象能力
学生的数学学习过程是一个自主构建的过程，他们各自带着不同的知识背景、活动经验和认知风格。正是由于这个性差异，要求教师要融合多种教学策略，因材施教，帮助他们发展“四基”“四能”，形成个性化数学抽象素养。以若干实例为载体，引导学生分析实例共性特征，抽象概括本质属性从而形成概念。在类比归纳二元一次方程的定义时，联系来自不同学生所构建的“二元一次方程”，让每个学生都积极参与到知识的生成过程中来。最后环节中“自行车与三轮车停放”的练习题设计，为有着良好数感与逻辑思维能力的学生搭建平台，体会随着限制条件的增强，二元一次方程的解的个数会随之减少，为下面二元一次方程组的学习做好铺垫，同时促进了抽象能力的提升与不同个体的个性发展。
（二）整体性问题为导向，让数学抽象螺旋上升
数学的课程内容是一个有机整体，这不仅仅体现在几何、代数和统计与概率各个板块之间的横向联系，也展现在同一部分内容知识前后的纵向联系。[3]正如一元一次方程、二元一次方程和多元一次方程包括分式方程，一以贯之，一脉相承。所以，在学习二元一次方程时，学生已经有一元一次方程的研究经验，可以从知识的整体结构上类比得到二元一次方程的研究路径。在二元一次方程问题设计中，先回顾一元一次方程，提问研究哪些方面，通过情景变式构建方程，类比以相似的研究路径对其进行研究。而正是在这类比与对比的过程中，了解了概念的外延，对定义进行精致化，最后也类比用符号表示出二元一次方程的一般形式。这种承上启下的整体性问题，使学生的知识体系在原有的基础上螺旋式发展，同时让学生的数学抽象素养也得到了螺旋式发展，满足学生的思维发展规律。
（三）探究式问题为导向，让数学抽象自然发生
“学起于思，思源于疑。”以问题为导向，能激发学生自主探究能力，让学生在发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的过程中自然提升数学抽象能力。在探究式问题的主导下，学生积极主动参与师生活动中去，充分发挥主观能动性。在转化求解的过程中，受活动经验的启发，学生容易想到对一个字母代入特殊值，转化为一元一次方程求解的方法。“这个二元一次方程有有几个解？”引发了学生对未知数取值的思考，引导他们去找寻两个未知数之间的数量关系。由数到式的抽象，将x看作常数，转化方程，抽象“表示”出两者取值之间的一般规律。在生疑、探疑与解疑的过程中，其发散思维得到发展，数学抽象素养得到自然提升。
总之，以问题为导向，在课堂中落实数学抽象素养是教师需要不断努力的方向。数学抽象是数学概念的基础，而概念教学又是重中之重，所以只有当核心素养在课堂各个环节中真正落地，学生的数学学习能力才能得到真正意义上的发展。
参考文献:
[1]中华人民国内共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[M].北京：人民教育出版社，2018：4.
[2]黄祥勇.数学核心素养导向下的深度教学[J].数学通报,2018,57(07):29-32+63.
[3]米妍,王光明.整体性数学思维方式视野下的教材阅读——基于章建跃先生对《实数》一章的教材分析[J].数学通报,2017,56(10):8-12.