王涛涛
浙江省杭州市经济技术开发区养正小学 310000
【教学内容】
人教版三年级上册课本P55第11题
【课前慎思】
这是“倍的认识”单元的一道※题，属于较复杂的倍数问题。问题中熊妈妈和熊宝宝的玉米数量的倍数关系是在变化中产生的，学生需要根据已知信息理清倍数关系是何时产生的、其标准量是多少等问题，有一定的难度。在本单元前面的学习中，学生已经建立了倍的概念，在例 2、例 3 中，还经历了利用画示意图解决“求一个数是另一个数的几倍”的问题，和利用画线段图解决“求一个数的几倍是多少”的问题的过程。因此，学生已经具备了解决这一问题所需的基本知识和表征能力。
对于这道较复杂的倍数问题，学生列式解决这道题目的能力如何？利用图示表征这道题目的能力如何？会出现哪些典型的错误？为了解学生的真实情况，我们设计了问卷，对学生进行了测查。
一、测查的问卷设计
题型结构与书本上的第11题完全一样，只是更换了情境，让学生利用画一画、算一算的方式呈现自己的想法。
我是这么想的：
①画一画： ②算一算：
二、测查的对象及过程
选择了三年级一个班学生作为样本，共38人。本班学生已经完成了“倍的认识”单元内容的学习。以班级为单位测试上面的题目，不提供任何帮助，也没有规定时间，学生认为已经完成就上交测试卷，如果认为自己不能解决该问题，也可以上交。
三、测查的结果及分析
1.列式解答情况统计与分析
对问卷中“算一算”栏目进行统计，具体结果见表1。
表1：列式情况统计
从上表可以看出，86.8%的学生能正确列式解决本道题目，其中列综合算式解决的占了52.6%，分步解决的占了34.2%。错误的学生占了13.2%，有三种错误类型。类型一：白兔给灰兔的3根没有还原，有3人，占了7.9%。类型二：将灰兔原有的根数当成了“2倍”的标准量，有1人，占了2.6%。类型三：将灰兔的5根萝卜理解成是白兔给它3根后才变成5根。
2.画图情况统计与分析
对问卷中“画一画”栏目进行统计，具体结果见表2。
从上表可以看出，全体学生出现了两种类型的图形，一是实物替代图，有4人画此种类别的图，占了全部调查人数的10.5%；二是线段图，有34人画，占了全部人数的89.5%，这两种图在本单元前面的学习中均有出现。
画实物替代图的4人中，2人正确，但画完整的只有1人，另一人没有写类别。错误的2人均将“2倍”的标准量理解成“5只灰兔”。
绝大部分学生画的是线段图，正确的占了全部人数的50%，但画完整的只占了15.8%，其他人均存在数据、问题未标或倍数不标准的情况。错误的占了全部人数的39.5%，最典型的错误是将白兔画成原来灰兔的2倍多3，即5×2+3，有8人，占了全部人数的21.1%。第二典型的错误是将白兔画成现在灰兔只数的2倍，即8×2，有5人，占了全部人数的13.2%。在所有画图的学生中，正确且完整的仅占全部受测人数的18.4%。
3.图、式对比统计与分析
对问卷中的“画一画”“算一算”对比统计，具体见表3。
表3：图、式情况对比统计
从表3可以看出，图、式均正确（含不完整的图）的占了55.3%，图、式都错的占了13.2%，还有31.6%的学生图错误，算式是正确的，说明这部分学生列式解决没有问题，利用图示表征信息和问题的能力还需提升。
四、测查的结论
1.学生出现了两种类型的图，即实物替代图和线段图，但绝大部分学生画的是线段图，占了全部受测人数的89.5%。
2.学生正确列式的能力高于正确画图的能力。86.8%的学生能正确列式解决该问题，但能正确画图的学生只有55.3%，能正确且完整地画图的学生仅占了全部受测人数的18.4%。
3.不管是列式还是画图，学生出现的最典型的错误均是5×2+3，即将灰兔原来的只数当作题中“2倍”的标准量，占了全部受测人数的26.3%。次典型的错误是（5+3）×2，白兔给灰兔的3只没有还原，占了全部受测人数的13.2%。
【教学目标】
1.结合具体情境，分析稍复杂的倍数关系，丰富倍概念的认知。
2.通过画一画、辩一辩、摆一摆等活动，借助文、图、式的对比，逐步建立稍复杂的倍数关系直观模型。
3.通过规范图式表征，感悟数学的严谨性，养成良好的数学学习习惯。
【课中深思】
一、情境引入，明确问题
校园里的桔子丰收了，三位老师代表年级组老师们采摘桔子。课件出示依次出示沈老师、李老师、高老师三人的对话。
问题一：李老师采了几个桔子？
问题二：高老师采了几个桔子？
（设计意图：校园里的桔子丰收了，孩子们一定很想了解三位老师采摘情况。这是发生在校园里的真实事件，比原题中的情境更能激发学生的学习兴趣。三位老师是孩子们最熟悉的大朋友，小朋友一定很好奇老师们到底摘了几个桔子， 有利于激发学生的好奇心和探究欲。）
二、自主探究，解决问题
（一）初步初探
1.明确要求（请学生默读要求）
①画一画，表示你的思路（用你喜欢的方式）；
②算一算，列式解答；
③说一说：同桌互相说一说解题思路。
2.独立尝试
学生独立解决问题，教师巡视，收集素材，准备反馈。（老师利用 IPD 上希沃授课助手 APP，拍摄学生作品。）
3.反馈交流
大家都有自己的想法，老师选了两位同学的图，我们一起来看。请你看仔细， 你支持谁的想法？学生观察数秒后，引导学生辩一辩：
（1）用举手的方式表示支持哪一方。
（2）双方分别说一说自己的想法。（先让错误的说，再让正确的说）
（3）让正确的一方再讲理由给另一方听：你为什么反对他？
（4）请改变想法的再说一说。
在辩论过程中，逐步引导学生发现两幅线段图不同之处是倍数的标准量不同。
（设计意图：让学生独立进行探究，用自己喜欢的方式表示自己的思路，和同桌交流自己的想法，老师展示学生素材，组织交流反馈，给学生充分的时间去辩论。在这个过程中，充分体现了学生的主体地位，老师只是课堂的引导者和组织者。）
（二）深入探究
1.摆一摆验证
到底哪一个是对的呢？请你再次仔细阅读题目的信息，用老师提供给你的学具，同桌两人一组，摆一摆，说一说，验证你的想法。
2.反馈摆法
指一名学生上台边摆边说。
3.联系理解
结合点子图，回顾题目中关键语句，同时在电子图的基础上完善善线段图， 明确变化后倍数关系的标准量以及要求的问题。
回顾之前的两幅线段图：现在你确定哪一幅是对的了吗？（简单判断） 现在你能根据这幅图列算式了吗？（教师板书）
（设计意图：学生都已经能画线段图表示了，还需要摆吗？答案是肯定的。这个问题之所以复杂，就是因为两位老师摘的桔子个数的倍数关系是在变化中产生的，线段图表征的是最后的结果，而用圆片摆一摆可以把变化的过程进行演示，两者互为补充，有助于学生理清数量关系，找准倍数关系的标准量。同时，这是一道加※的题目，对于班级后 30的孩子来说是有困难的，在辩论的基础上，让学生再次边摆边整理思路，既是对之前辩论的一种验证，也是对问题模型的深入感悟。）
（三）建立模型
1.仿照练习（一星题）
改变高老师与沈老师的对话：如果高老师给沈老师4个后，高老师摘的橘子的个数是沈老师的2倍，高老师摘了多少个橘子？
（1）让学生独立思考，直接口答，教师板书算式在屏幕上；
（2）选一选：教师出示两幅线段图，让学生举手选一选，简单说理由。
2.归纳方法
请你观察我们刚才解决的这两个问题，我们都是先变化，（高老师给沈老师3个，现在沈老师有5＋3＝8个），这个时候高老师的个数是沈老师的2倍，说明把8个看成一份，最后，要求高老师摘了多少个，还要把给的3个还回来。
这就是我们今天研究的稍复杂的倍数问题。（揭题并完善板书）
（设计意图：在原来情境的基础上改变高老师的话，让学生再次体会像这样的问题该如何解决，并在此基础上，根据解题过程概括出变化→倍数→还原三个关键词，帮助学生建立解决这类问题基本模型。）
三、拓展练习、提升思维
如果高老师和李老师又换了一种说法，你还能解决这样的问题吗？请你根据自己情况进行挑战。
1.（二星题）沈老师摘了5个橘子，如果沈老师给高老师1个后，高老师
摘的个数是沈老师的2倍，高老师摘了多少个橘子？
2.（三星题）沈老师摘了5个橘子，李老师给沈老师2个后，李老师摘的橘子的个数是沈老师的3倍；沈老师给高老师2个后，高老师摘的橘子的个数是沈
老师的3倍。哪位老师摘的橘子个数最多？
（设计意图：设置的两道提升练习仍然在原来情境的基础上进行改编，将学习材
料充分地利用。练习按星级进行设置，让学生对练习的难度有所了解。学生可以
根据自己的能力进行选做，充分考虑到不同程度孩子的需求。）
四、全课总结
说一说通过今天这节课有哪些新的收获？
【课后研思】
基于本节课三个教学目标的达成情况，笔者进行了课后反思，认为在进行“解决复杂倍数问题”的教学中，可以从以下三方面进行思考，改进教学方式：
1.重视倍数问题标准量的寻找
在本节课中，学生存在的最主要的问题是对“2倍”的标准量的确定有偏颇，建议在教学时，选用正确、错误两种图示作品，采用辩论的形式，在辩论中让学生明确“2倍”对应的标准量，从而突破本道题的难点。除此之外，还可以采用实物操作的形式，让学生在操作中明确“2倍”所对应的标准量。
2.重视画图能力的培养
从前测数据分析中可以看出，能正确列式计算的学生比能正确画图的学生多很多，不画图也能解答，还须强调画图吗？回答是肯定的。《标准（2011）》将“几何直观”作为核心概念提出，并明确其内涵“主要是指利用图形描述和分析问题”。几何直观是学生学习的一种重要能力，我们要通过教学促进学生此能力的形成。因此，在本节课的教学中，要重视画图能力的培养，尤其要强调在图中完整的标注条件和问题。
3.重视文、图、式的对比分析
从课堂的教学中，我们可以发现，很多学生在思考的过程中文、图、式是分离的，即在画图的过程中没有完整表达题目所表达的意思，没有对应于图示进行列式，也没有基于图示去分析算式每一步在图中表示的意思，总体来说，图示的简明、形象和分析功能没有完全发挥。在教学的过程中，我们可以加强两个对比，一是在对比中让学生感受到，根据题意画出图示，完整的在图上标出信息和问题，图就能简明、形象的替代题目中的所有文字；二是在图、式的对比中让学生感受到图和式的对应，理解算式每一步在图中所表示的意义，最终达成三者的融通！