田巍
山东省平度第一中学 266700
定值问题的本质是动中生静，是在一个运动变化过程中，由某个变量的变化引起另一个量不变的问题.本文从2020年青岛二模的题目出发，总结在解析几何中四种斜率乘积为定值的情况，然后通过一个题目展示条件隐藏的斜率乘积为定值的题目，将数学运算的学科素养能力进一步提升。
关键词： 斜率之积 定值 数学运算
一、斜率之积问题的课本溯源：
普通高中课程标准试验教科书《数学》(选修 2-1) 人教 A版的探究题：点的坐标分别是直线 相交于点, 且它们的斜率之积是, 试求点的轨迹方程, 并由点的轨迹方程判断轨迹的形状。
思考1 平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（），则该点的轨迹是什么？
思考2 平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（除之外的负值），则该点的轨迹是什么？
思考3 平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值（正数），则该点的轨迹是什么？
通过对课本溯源以及三个问题的思考，我们可以得出一般性结论：斜率定值为，则轨迹为以为直径的圆；斜率定值为除了的负值，则轨迹为椭圆；斜率定值为正数，则轨迹为双曲线。斜率之积为定值，可以得到唯一确定的圆锥曲线，因此该定值应该是于圆锥曲线的离心率是有联系的。下面我们从2020年青岛二模中的题目出发，已知圆锥曲线方程去探究斜率乘积的定值问题。
二、模拟题中的问题呈现及变式探究
（2020年青岛二模 节选）已知为坐标原点，椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆的交点到原点的距离均为 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点为椭圆上的动点，三点共线，直线的斜率分别为
证明：.
解析：（1）椭圆方程为，过程略。
（2）设,则．设
由点在椭圆上，得:① ， ②
两式相减并整理，得
即
模拟题的解题溯源：
椭圆(a＞b＞0)上任一动点 P( x，y)到椭圆任意一条直径(过椭圆中心的弦)的两个端点的斜率乘积等于多少?
解：设椭圆(a＞b＞0)的任意一条直径为,
∵是直径∴点关于原点称．
设,则．由点在椭圆上，得:
① ②
两式相减并整理，得
即
点拨：对于本类证明，采用两式相减消参，借助直线的斜率公式得出结果。对于双曲线，只需要把椭圆标准方程中的换成结论一致，仍为. ..如果将圆理解为（或者）的椭圆，本结论对圆也是成立的.此定义可以理解为对两定点张角为直角的轨迹为圆的推广.对于今年的青岛二模题目，如果求证是定值，记住结论也可以验证答案。
结论：圆锥曲线上上三点，若点过于原点对称，即三点共线，
则。
变式一：若点为椭圆上的动点，直线的斜率分别为且证明：三点共线.
变式一解题溯源：
过椭圆(a＞b＞0)上任意一点作两直线分别交椭圆于点（不是长轴的端点），为原点，若与的斜率分别为，且满足，则三点共线。
证明：设
则，两式相减得 ①
又∵ ②
由①②得即
故，设即
∴三点共线，
而在椭圆上∴与重合，
又与关于原点对称，∴弦过中心,即三点共线。
点拨：利用方程思想，建立起点的关系，其中点是点关于原点对称的点。
结论：圆锥曲线上上三点，若，则点过于原点对称，即
三点共线。
变式二：若是椭圆的左右顶点，是椭圆上除了的任意一点，求证为定值。
变式二解题溯源：已知椭圆的左右顶点为，点是椭圆上除了的任意一点，求证为定值。
解：设，∵
∴
∴
又∵点在椭圆上，故∴
②代入①得：
猜想：若把上题中改为上下顶点，上述结论是否还成立呢？
证明：∵.设
所以，直线的斜率，的斜率为.
∴
又点在椭圆上，所以，从而有
②代入①得：
点拨：本类问题采用了代入消参，借助直线的斜率公式得出结论。
结论：我们可以总结为椭圆（或双曲线）上的两顶点（左右顶点或者上下顶点），与圆锥曲
线上除此之外的任意一点所形成的两条直线斜率之积为定值.
变式三：若点为椭圆上的两个动点，点是弦的中点，直线的斜率分别为证明：为定值.
变式三解题溯源：已知椭圆，点为椭圆上的两个动点，
点是弦的中点，直线的斜率分别为，求证为定值。
解：设，，
=，=,
∵点在椭圆上，故①②
∴②—①得：即
∴=即（*）
∵=，则
设A、A′关于原点对称，由中位线定理知OM∥A′B，从而得到
点拨：“遇到弦中点，两式减一减”。本类题目的解题手段为相减消参，借助直线的斜率公式得出结论，通过两式相减得到了圆锥曲线中弦的中点坐标与弦的斜率之间的关系式（*）.结论：与圆锥曲线相交直线斜率，相交弦中点与原点的直线斜率为，.
三、隐藏条件的问题
有的时候，斜率乘积为定值是隐藏在题干之中，作为解决问题的一个环节，比如下面的题目：
如图，若为椭圆的右顶点，过坐标原点
的直线交椭圆于两点，直线交直线于
两点，求的最小值．
分析：求的最小值，将构建只含有一个参数的函数，点是变化运动的，而这两个动点与直线有关。动态的直线斜率也是变化的，而斜率之积是一个静态的定值，从而找到解题的突破口。
解：设则,
所以
又∵在椭圆上，∴点
即,将②式代入①式得：
点拨：直线和直线斜率乘积是定值，因此二者斜率可以用一个字母表示。
设直线的斜率为，则直线的斜率为
所以直线的方程为：
直线的方程为：
令得
∴当且仅当时取
∴的最小值为
四、结束语：
我们发现，涉及到斜率乘积为定值的问题，证明过程中一般用到方法相减消参和代入
消参，然后利用直线的斜率公式得到我们所需要的结果。另外，本文中的结论斜率乘积为定值，这作为圆锥曲线的统一结果是有前提条件的，需要圆锥曲线的焦点在轴上。那
焦点在轴上的定值结论读者可以类比探究。
作者信息：田巍 1990年生 2013年工作 山东省平度第一中学教师 中学二级。