许丽英
广西南宁市三美学校 530021
摘要：纵观近几年的中考试题，二次函数背景下的三角形面积问题是高频考点，也是中考重要考点，本文通过归纳和研究二次函数背景下的三角形面积问题，将其模型化，并蒋模型进行归类，提出新概念，去研究总结这些类型的三角形面积的解法，帮助学生找到解决这类问题的切入点和攻克难点，让学生学会三角形面积的多种求法，并推广到解决和三角形面积相关的问题。
关键词：二次函数；三角形面积；中考解题；模型应用
一、真题呈现
.png)
本题第（2）问是典型的二次函数背景下的三角形面积最大值和最小值求解问题，为了帮助学生快速找到解决这类问题的切入点和攻克难点。因此，下文我将从三角形模型归类—模型解法—模型应用及推广来进行研究分析。
二、模型归类
通过观察平面直角坐标系下的三角形，如下图，可以将其分成两类，第一类，若三角形有一条边在坐标轴（x轴或y轴）上或平行于坐标轴，我们称之为“坐标轴三角形”；第二类，若三角形的边都不在坐标轴或都不与坐标轴平行，我们称之为“非坐标轴三角形”。那么这些类型的三角形面积如何求呢？下面将逐一进行分析。
.png)
三、模型解法
（1）“坐标轴三角形”面积求法
“坐标轴三角形”面积求法，可以直接利用三角形的面积公式为，可将此公式简称为“底高公式”，我将以下面的例题来进行分析，如下图，
例题：如图，二次函数与轴交于点,与轴交于点,连接AC ,直线AC的解析式为：.
.png)
边，然后求出边上的高，正好是OA，最后代入“底高公式”算出结果。
（2）“非坐标轴”三角形面积求法
例题变式1：若点B是抛物线的顶点,求ΔABC的面积.
在这道变式题中，改变例题中条件，点B为二次函数顶点，此时的变为了“非坐标轴三角形”，问题转为求“非坐标轴三角形”面积问题，这类问题，可以过三角形的顶点，作坐标轴的平行线，构造坐标轴三角形来求解，此构造法简称为“坐标轴三角形构造法”，过三角形的顶点作平行线，可以把不规则的三角形补成规则图形（如下图1，图2）或割成坐标轴三角形，在这里重点讲由“坐标轴三角形构造法”，将“非坐标轴三角形”割成坐标轴三角形的方法。
.png)
分析：在这道变式题中，点B变为动点，然后去求出△ABC面积最大和此时点B的坐标,
此时的△ABC依然是“非坐标轴三角形”，所以这里继续用“坐标轴三角形构造法”，将“非坐标轴三角形”割成坐标轴三角形的方法。根据“坐标轴三角形构造法”，只要过三角形的三个顶点中的任意一点作平行于坐标轴的直线都可以实现转化，但繁简程度不同。通过研究中考真题发现，在三角形的三个顶点中，一般都有一个动点和两个定点，所以一般的辅助线作法是通过这个动点作平行于坐标轴的直线，如图，点A和点C是两个定点，，而点B是一个动点，所以过动点B作BD//y轴，设动点B的坐标，将横坐标代入直线AC解析式，求出点D的坐标，进而表示出线段BD。解题过程如下：
例题变式3：若点B是直线AC上方抛物线上的动点，是否存在点B，使S△ABC=16,若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.
分析：变式3也是二次函数背景下的三角形面积相关的问题，给出三角形的面积，去求出动点的坐标。这道题仍然是属于“非坐标轴三角形”面积问题，我们可以利用同样地解题思路，
解题过程如下：
归纳总结：通过以上几道题目的探索，发现解决二次函数背景下的三角面积问题，不管是求面积问题，还是已知面积求坐标问题，首先要蒋三角形进行分类判断，如果是“坐标轴三角形”，那么只需要利用三角形面积“底高公式”进行求解；如果是“非坐标轴三角形”，那么需要过动点作坐标轴的平行线，将所求三角形转化为“坐标轴三角形”，然后将三角形的面积进行“割”或“补’,即“面积加法”，或“面积减法”，也就是上面所说的“宽高公式”。找到对应模型解法，难题就会迎刃而解。因此，在复习中考专题中，我们需要引导学生学会进行模型分类，再找到对应的模型解法，将问题转化为易于求的坐标轴三角形面积问题。
四、模型应用
.png)
在这道中考压轴题题中，△MAB是属于“非坐标轴三角形”，根据前面的解题思路，先将动点M作ME//y轴，将“非坐标轴三角形”转化为两个坐标轴三角形，然后将这两个三角形面积进行相减，最终可以转化为利用上面所讲的“宽高公式”。
结束语：二次函数为载体的三角形面积问题，充分渗透了数学的“建模”思想，化归转化思想，数形结合思想以及割补思想，解决这类专题的思路就是先找出目标三角形，看它是属于哪类三角形，如果是“坐标轴三角形”，直接利用底高公式；如果是“非坐标轴三角形”，先进行构造，一般是过动点作坐标轴的平行线，蒋其转化为“坐标轴三角形”，再利用“宽高公式”，问题便迎刃而解。
参考文献：
[1] 陆文娟.二次函数图象中三角形面积计算问题[J]. 初中数学教与学. 2012(19)：14-15.
[2] 王海燕,原欢春.二次函数中三角形面积问题的三种求解方法 [J]. 中学数学教学参考. 2016(09)：48-49.
[3] 魏祥勤.探究一道二次函数图象与三角形面积的综合题[J]. 数理天地(初中版). 2019(06)：25-27.
[4] 高健.探究二次函数中三角形面积问题——以一道中考试题为例[J]. 考试周刊. 2019(73)：49-51.
[5] 段广猛.详谈三角形面积问题之“宽高公式”[J].中国数学教育.2019(Z3):92-97
[6] 陈占彪.初中二次函数三角形面积问题探究[J].青海教育.2016（12）：39-40
[7] 刘健.抛物线中动态三角形的面积问题[J].初中数学教与学，2018（11）：31-33.
[8] 黄细福.巧添辅助线如画龙点睛——论抛物线中三角形面积问题[J].课程教育研究.2013（28）：120-121.
[9] 邹伟华.抛物线中动点三角形面积最大值问题解法探究[J]. 中学数学研究(华南师范大学版). 2014(20)：4-5.