楼晗韬
浙江省义乌市上溪小学
一、疑——提出问题
任教过三年级的老师们大多都在某一瞬间有过这样一个疑问：怎么刚学完长方形的面积，连周长都不会了呢？抱着这样的疑问，我决定设计一节关于“长方形周长与面积”的练习课。
二、理——分析问题
1.关于教学重点分析
当谈起这一课题，有的教师认为，这节复习课的教学重点应为长方形周长与面积的概念区分、以及三年级下册长方形的面积计算的复习巩固。
通过整理网络上的相关课题设计，我发现不少教师都是从学生的错题出发， 先对长方形、正方形周长面积的公式进行复习，然后用了大量的时间通过“画一画”、“填一填”等过程利用公式计算出周长和面积，最后结合表格发现周长与面积之间的变化规律。看到这里，我不禁有个疑问：公式只不过是让学生能更快捷完成计算的一种工具，难道学生犯错的原因是对公式不熟悉吗？
这激发了我对这节课的设计灵感，摆脱公式的束缚，用直观的体验再认识“周长”与“面积”，主动发现周长与面积之间既有联系又有区别。
“掌握公式，熟练计算”，还是“研究本质，感受异同”？我果断选择了后者。“授人以鱼不如授人以渔”，掌握方法，发展思维，创新思想才是“对症下药”。
2.关于教学对象分析
北师大版“长方形周长与面积”相关内容的练习课适用三年级数学。
世界上没有两片完全相同的叶子，每个学生都是独一无二的。课标要求，数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，不同的人在数学上得到不同的发展。
这节课，既是对之前所学周长与面积的复习，也是对两者关系的全新认识。学生水平之间存在差异，因此在环节上我采用分层梯度式的设计，让中下的学生可以有充足的时间进行理解，也给予中上学生足够的思维空间，二者都能有所发
展。
这也启发我，在教学评价中，也要进行分层式评价，因此，我拟定了如下教学目标——
对于中上水平学生：
（1）能主动探索并发现周长与面积之间的异同，清晰认识引起周长与面积改变的因素，并能举一反三寻找其他可能的情况；
（2）通过观察，关注几种图形之间的联系，能用审辩的思维客观看待事物， 有理有据表达自己的观点；
（3）在“辨一辨”、“辩一辩”等活动中发展质疑、反思、归纳等能力，体会数学的辩证性。
对于中下水平的学生：
（1）通过“描一描”、“扫一扫”等活动再次感知周长与面积，从直观感受上对二者进行区别；
（2）在计算的过程中复习周长及面积公式，能利用公式较快地完成简单图形的周长与面积计算；
（3）通过听、说、问、答等活动，感知周长与面积之间的联系，能基本说清引起周长与面积改变的因素；
（4）在探究的过程中提高表达能力，发展审辩式思维，学会质疑，能有理有据地论述自己的观点。
三、行——审辨课堂
（一）概念回顾，唤醒旧知
长方形的周长是北师大版三年级上册学习的内容，部分学生对周长的准确概念已经模糊不清，而面积一课因受疫情影响在假期以网课形式授课，学生对面积的感知和理解并不深刻。为此，在新课前三分钟，通过“描一描”、“扫一扫”等简单活动，先让学生回忆起周长和面积的概念，通知区分二者的不同，为后面的探究奠定基础。
【教学片断】
师：同学们，你知道这节课我们要学习什么吗？ 生：长方形的周长和面积。
师：那你还记得什么是周长吗？拿出你的数学书，描一描数学书封面的周长？
生上台描，并总结：数学书封面一周的长度叫做它的周长。师：那谁能表示出数学书封面的面积呢？
生动手摸一摸，并总结：数学书封面的大小叫做它的面积。
【教学思考】
为了让更多的学生参与课堂，并且有充分的时间和空间进行审辩思考，回顾复习必要的知识基础是前提。周长和面积是两个抽象的数学概念，学生往往对二者的认识模糊不清，这也是进行本科教学的原因之一。“描一描”、“扫一扫”的活动让学生将抽象的概念具象化，让学生看得见、摸得着，通过有趣的形式逐渐唤醒对概念的认知，以便其在接下来的探究中有足够的知识依托进行主动思考。
（二）初步探究，巧思善“辨”
长方形的周长与面积之间的关系是这节课的重点，如何突出重点，让学生深刻认识周长与面积之间的关系呢？我利用一张 A4 纸，通过“折一折”、“剪一剪”、 “辨一辨”的过程，思考：剪完后的两个图形周长总和与原图形相比，变了吗？面积呢？
【教学片断】
环节一：调动思维，回顾公式。
师：出示 A4 纸长方形
师：要计算他的它的周长和面积，你需要哪些信息？ 生：需要知道长和宽。
师：出示：20cm、30cm ，标出长和宽，请先解决周长问题。生：（30+20）×2=100（cm）
追问：你是怎么想的？（板书：长方形的周长=（长+宽）×2） 师：再来解决面积。
生：30×20=600（cm2）（板书：长方形的面积=长×宽）
环节二：动手参与，生生互“辨”。
师：再在这个长方形纸里剪下一个最大的正方形，你觉得该怎样剪？
（学生上台操作演示）
生 1：（将长方形直接折出一个类似正方形的图形）
生 2：（质疑）不对，这样剪不一定是正方形，可能是长方形。师：为什么？
生 2：如果我往这边折一点就是长方形了。（演示）
师：哦，也就是说这样折并不准确，那你有折出正方形的方法吗？ 生 2：（先折上一个角，然后将不重合的部分撕下）
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师：为什么这样剪下来的就是正方形？
生 3：因为这样折有个三角形，一个正方形就等于两个相等的三角形。生 4：两个正方形重叠了。
生 5：重叠的两条边相等。
师引导并补充：这样的话，四条边都相等了，那就是一个正方形。
师：说的非常好，这个正方形和剩下图形的周长和面积又分别是多少呢？动手算一算。
生 1：正方形的周长是 20×4=80（cm）（板书：正方形的周长=边长×4） 生 2：正方形的面积是 20×20=400（cm2）（板 书:正方形的面积=边长×边长）生 3：剩下小长方形的周长是（20+10）×2=60（cm）
生 4：剩下小长方形的面积是 20×10=200（cm2）
师：这两个的周长总和与原图形的周长进行比较，变了吗？为什么？ 生 1：变了。
生 2：周长多出两条边。
生 3：周长增加了正方形的两条边长。
（板书：周长增加）
师：那面积呢？ 生 1：也变了。
生 2：我反对，我认为面积没有变。
生 3：我也觉得面积没有变，因为这两个图形的面积加起来是 200+400=600，和原来的长方形面积一样。
（板书：面积不变）
【教学思考】
环节一的教学目的是回顾周长与面积的计算公式，通过提问“需要什么信息” 让学生主动回忆周长和面积的计算方式，调动思维的自主性。
环节二是本课的第一个难点——如何在长方形中剪下一个最大的正方形？为什么这样剪下来就是一个正方形？学生通过新课时的学习以及手工剪纸的操作经验，从长方形纸中剪下一个最大的正方形的操作并不难，而是难在有理有据说明这样剪的原因。学生往往会操作但不会准确表达，这样的困难最能调动学生思维的灵活性，同时在学生“辨”的过程中理解其中缘由，知其然并知其所以然。教学中，学生出现了不同的剪纸方法，学生有思考，也有质疑，当出现质疑的时候， 鼓励学生说明理由，有理有据地支撑自己的观点，同时提出新的观点。当学生说出“重叠”时，学生已经有了“相等”的概念，虽然难于表达，但是在学生的互相补充之下，也能逐渐从“面的相等”转化为“边的相等”，从而证明折出的图形是一个正方形。在这样生生之间“辨”与“辩”的过程中，学生思维的独创性、批判性得到了极致的发展。
（三）灵活多“变”，慎思明“辩”
有了之前的基础，学生对探寻长方形周长与面积之间的关系有了一定的经验基础。于是，我在这一环节设计了大量的变式，通过对同一个素材——A4 纸的不同剪法，不断变换图形的形式，让学生能在连续的变化中动态感知长方形周长与 面积的变化，从而加深认识。
【教学片断】
环节一：剪在角上——周长不变，面积减少师：出示图形
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独立计算这个图形的周长，说说你的方法。生 1：20+30+24+16+6+4=100（cm）
生 2：（20+30）×2=100（cm） 师：为什么可以这样算？
生：把 6 厘米的边平移到上面，把 4 厘米的边平移到右边，这个图形的周长就是原长方形的周长。
师：用这样的方法计算，只用到了那几个信息？（也就是说另外两个信息不需要）
师：我们发现，这个图形和原长方形相比，周长不变，那面积呢？ 生 1：面积也不变。
师：为什么？
生 1：因为刚才把那两根线移过去不就是原本的长方形吗？
生 2：我反对，应该是变了。因为移是做周长的，但是面积少了就是少了。师演示动画：面积指的是这个面的大小，边线移动，这个面改变了吗？
生：没有。
师：所以这个图形和原来的长方形相比，你发现了什么？ 生：缺了一块。缺了角上的一块。
师：因此从面积上看，这个面积和原来长方形的面积比？ 生：少了角上的这一块，所以面积减少了。
师：同学们思考的非常认真，这个图形难不倒大家，那我如果再剪去一个长方形，这个图形和原来的长方形相比，周长变了吗 ?
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生：没有变。
师：那面积呢？ 生：又减小了。
师：少了哪部分？
生 ：少了刚才剪去的那一块。
师：大家觉得将小长方形剪在哪里，图形的周长不会变化？ 生 1：剪在 4 个角上。（演示）
生 2：剪在四条边的中间。
生 3：我觉得剪在边的中间，周长会变。
教师：有同学有质疑的声音，那我们一起来研究研究。
环节二：剪在边上——周长增加，面积不变师：出示图形
师：（指名学生上台）边指边说一说你的想法。
生 1：如果把中间这条移出来，那这两条是多的。师：谁听明白了？
生 2：如果把这条线移出来，那么那两条短的线就没法移了，所以周长和原来比变了。
师：那你能计算出它的周长吗？
（学生独立完成计算，一名学生快速举手）
师：（待部分学生完成计算）斯芷萱同学没有计算就已经举手了，来听听她的想法。
生：（30+20）×2+2×4=108（cm）
师：其他同学看懂了吗？这里的“2×4”是什么意思？ 生：是指那两条多出来的线。
师：周长和原长方形相比，竟然还增加了！那面积呢？
生：面积减少了。师：少了哪一块？
生：少了被挖掉的一块长方形。
师：（在另一条边中间剪去一个小长方形）如果这样剪呢？周长增加了还是减少了？（增加了）增加的在哪里呢？（学生上台 指：增加了新的两条短边）面积呢？（面积又减少了）减少了哪部分呢？（少了刚才减掉的那一块）
师：原来，如果在长方形边的中间剪去一个长方形，面积会减小，周长反而会增加。
环节三：剪在一侧——周长减少，面积减少
师：刚才我们找到了周长增加或者周长不变的剪法，接下来轮到同学们思考了，想一想，有没有让周长减少的剪法？
生 1：从中间挖去一个小长方形。师：这个图形周长减少了吗？
生：没有。
生 2：从上面一条边一直剪到下面一条边。
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师：这样剪，周长减少了吗？减少的的是哪些呢？
生 1：少的是剪下来那一块（学生上台指：剪下图形的一圈）。生 2：少的是最边上的一条。
生 3：少的是上下两小段和边上一条。
师：同意的举手。（大部分同学举手表示同意，个别同学未举手） 师：有几个人好像不同意，采访一下，请你来说说你的想法。
生 4：少的是上下两小段.
师：为什么？
生 4：（边指边说）这里剪下一块，宽少了一条，但是这里又增加了一条， 相当于没变过，所以少的是上下两小段。
（学生集体鼓掌）
师：看来，这样剪周长确实少了，那面积呢？ 生：面积也少了，少了左边被剪掉的那一条。
【教学思考】
学生往往把长方形的周长和面积的概念混淆不清，其实本质在于没有充分地对周长与面积有一个直观感受。这一个环节我将几种类似的图形用一个简单的素材进行串联，把图形的改变动态地呈现出来，让学生能够看得见、摸得着长方形周长与面积的变化。
环节一是学生接触最多、最常见的剪法，从角上剪去一个长方形，学生可以利用三年级上册知识快速判断出其周长并没有改变，但是学生在判断面积时却出 现了不同意见，可见对面积这一新概念还是理解不清。于是我通过不同学生“辩说”鼓励学生从不同角度解释面积的变化。学生在说与倾听的过程中不断拓宽思维的广度，结合面积的概念，突破了移动边线求周长的方法的负迁移，真正认识到面积是面的大小，与边线的移动无关，强化思维的深刻性。当学生理解“周长不变，面积减少”的缘由后，我顺势向前再迈一步，当场再剪去一个角，学生可以用动态演示的过程中再次体会“周长不变，面积减少”。环节最后，我问道：“大家觉得将小长方形剪在哪里，图形的周长不会变化？”这一问题考察了学生思维的独创性，为了避免思维的定势，打破思维局限性，让学生自由思考其他可能的情况，增加思维的灵活性，同时引出环节二“剪在边上”的情况，引发学生的思考和争辩。
环节二由于有了环节一的经验铺垫，大部分学生可以准确判断出周长增加的结论，但仍然有部分学生无法理解，因此通过学生辩说、操作计算等活动，先对周长“变与不变”有初步的理解和猜想，经过计算验证得出统一结论。
环节三的设计目的在于充分发挥学生思维的独创性和发散性，打破只能在长方形边和角上剪去一个小长方形的思维定势。比如学生创造出了剪在中间的方
法，正是突破思维禁锢的表现，通过简单辨析，发现不合题意，学生又马上能创新方法，从原来的剪去“一小块”变为剪去“一长条”，即达到了题意要求。同时， 这种剪法在判断面积变化上并不难困难，因此我将重点放在讨论“周长怎么变”上， 学生通过观察，创生出了四种不同的答案，最终通过生生互动、学生讲解明晰结论，强化思维的批判性，提高有理有据的辩说能力。
通过观察图形的变化，辨析周长、面积的变化，学生从一开始的含糊其辞， 到最后的脱口而出，可以看出进过这一系列的变式练习、互相辩说，学生到对周长与面积这一组易混概念已经与课前相比有了更清晰的认识。
【板书设计】
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板书是一节课所有教学内容的核心概括，好的板书是一堂课浓缩的精华，是课堂教学中师生双边活动的缩影。我的板书设计力求精简，结构清晰，关系明确。
四个公式作为本节课的计算基础，我整理在副板书部分，以便同学们在有必要的时候及时查看。
主板书则由一张图形的关系网组成。教学过程中，利用 A4 纸通过折、剪等活动过程动态地生成各个图形，并展示在黑板上，让学生能直观感受各图形与原长方形之间的关系。对于本节课规律的呈现，我选择用精简的短语概括，抛去冗杂的计算过程，将学生发现的结论有序、整齐地呈现在板书上，便于课堂最后总结时能快速联系各个结论，串联成一个完整的知识网络。
四、思——反思评价
设计之初，我曾问自己一个问题：“这节课复习的内容后是不是太少了呢？” 上完课后，我得到了答案。
这节课中，对知识性的内容复习只是帮助学生高效思考的一种工具，调动学生主动思考，学会审辨，才是最核心的。教学环节的设计也是力求精简，没有用多余的素材，只选择一张普通的长方形 A4 纸，将单一的素材利用最大化，同样可以把数学课“变”得有趣，“辩”出精彩。课虽简单，但我相信孩子们的体验一定是难以忘怀、刻骨铭心的！