徐新贤
148团第一中学 新疆石河子832048
摘要：对于某些特殊的物理问题的结果，采用常规的数学解析方法处理非常困难，该文恰当的运用数据表格配合电脑画图的方法进行大量数据的处理，快速、形象的展示结果，并能引人直观的理解公式的确切含义。警醒对易错题的警惕。
关键词：关联速度；EXCEL表格；散点图
有位学生拿来一道在的物理题，他感觉有一些说不出的疑惑，希望老师能帮忙分析一下，尤其是涉及到数学时要更加详细一些。
【题目】如图1所示，质量相等的重物A，B用绕过轻小定滑轮M、N的细绳连接在一起，重物A，B处于同一水平面上保持静止状态，现将质量与重物A相同的C挂于与滑轮轴处于同一水平线上的M、N两轮的中点（MN=2a），不计一切摩擦。问：
（1）物体C下落的最大距离多大？
（2）物体C下落多大高度时的速度最大？
【原解析】（1）当C下落到最低点达到最大距离时，其速度必为零，同时A与B上升的速度也为零。设C下落的最大高度为h?1?，对应的A、B上升高度设为h?2?，由几何关系可得。因A、B、C三者组成的系统机械能守恒，得?，解得 。
（2）物体C先向下做加速运动，加速度越来越小，当加速度为零时，C的速度最大。设此时绳子与水平方向的夹角为α，此时C受力平衡，则有：2Tsinα=mg，同时A、B受力平衡，绳子拉力等于重力，则有T=mg，解得：sinα=1/2，即：α=30°，根据几何关系可知，C下落的高度为：h=
【分析】：显然原解析对第（1）问的解答是没有任何问题的，并且由答案可以算出C到达最低点时绳子与水平方向的最大夹角为，在第（2）问的解答中C出现最大速度时绳子与水平方向的夹角为α=30°<αm，似乎也是比较合乎情理的。但是我们注意到这是一道绳连两物体的速度关联问题，在绳子不可伸长的情况下，两物体沿绳子方向的速度分量相等，这是解决此类问题的关键。而原解析并未涉及此要素。
另外需要注意的是在分析C与A的速度大小关系时，不须考虑B的运动（因为质量相等的B与A的共同作用的效果是保证让C速度始终在竖直方向上，相当于去掉B而把C套在一个竖直光滑的杆上）。下面分析第（2）问。
【解析】：设某时刻物体C下落的速度为vc，A、B上升的速度为vA，此时绳子与水平方向的夹角为θ，如图2所示正交分解vc，则有：
vA=vCsinθ --------①
由①式可以看出：对于任意的θ（θ为锐角），A、C 的速度存在一一对应关系，同时为零，但不能认为是同时达到最大（即加速度同时为零），也不能认为同时增大、同时减小，因为θ角也在随时间做非均匀变化。
为了更好的理解这一点，把①式两端对时间求导数：
--------②
因为，，，而，，，
所以A、C 的加速度关系为：
--------③
由式③可知，随着θ角的增大，C的加速度减小到零（速度达到最大）时，A的加速度还没有减小到零（速度仍在继续增大）。至此找到原解析中存在的一个致命错误是：认为A、C 的加速度同时为零。
下面找出任一时刻vc随θ变化的普适表达式，以分析C出现最大速度时对应的θ角，从而得到C下落的距离。
物体C从初始到下落H（A、B均上升h）的过程中，由系统的机械能守恒有：
--------④
由图2得几何关系 --------⑤
联立①④⑤式解得： --------⑥
由⑥式知，当θ取某一个值时，vc取最大值。为得出对应的θ的具体角度，我们采用了学生比较熟悉的EXCEL表格来处理⑥式。
在EXCEL表格中建立vc随θ变化的计算公式（取θ角的变化范围为0～53.13°），表格中的部分数据如图3所示（表格中vc的单位取为）。
在EXCEL中画出vc随θ变化的散点图如图4所示，为了比较A、C的速度变化情况，也画出了vA随θ变化的散点图。
为了得出vc最大时所对应的θ值，在图4中把θ=22°附近的散点图像进行细节放大得到图5，从图5中可以看出，当θ=22.55°时。
【结果】：把θ=22.55°代入⑤式的第一式，则得到物体C下落的高度为 时物体C的速度最大。这就是原题第（2）问的答案。
【检验】：为了检验这个结果的正确性，我们从最基本的牛顿定律出发再算一下。设某时刻绳子的张力为T，A、C的加速度分别为、，对于A、C分别列出牛顿第二定律：
-----------⑦
联立③⑦式（把牛顿定律与题目特点结合在一起）消去得：
-----------⑧
由题意知，当C下落到某位置时，=0，此时C出现最大速度，由⑧式得出C的最大速度与某一特殊的θ值的关系为：
-----------⑨
把θ=22.55°代入⑨式，可得到物体C下落的最大速度为。与从图5上得到的数值是相符的，说明了物体C下落的高度为 时物体C的速度最大。
【反思】 (1)、由以上分析发现，此题的第（2）问作为训练学生的分析能力是可以的，但作为考试题就待商榷了。建议把第二问改成：“当绳间夹角为120°时物体C下落的速度多大？”等易于解析计算的问题。
(2)、像这类绳连两物体的速度关联问题，当两物体的速度方向并不都是沿着绳子方向时，一定要注意并正确理解其速度关联公式的特点：两物体的速度可以同时为零，但加速度不可能同时为零，速度也不会始终同时增加、同时减小。