赵鹏程
山东省滨州市滨城区第六中学 (山东 滨州 256600)
摘要 学生在学习分式方程时，对于增根的产生，很多学生接受起来有一定的困难，教师在解释起来也有一定的难度，笔者对常见的解释进行了一下梳理，得出了自己对于增根产生的一点看法，以期对广大初中数学教师有所启示
关键词 同解原理 增根 无解
每当学生学到分式方程这一节时，很多学生从思想上都接受不了一个事实：自己费劲周折解完的方程，竟然无解！在这里，学生的思维遇到了一个急转弯，很容易出错.如何合理、有效地处理这个问题，是摆在数学教师面前的一个难题，对此，笔者做了一些研究，希望能给广大数学教师一点启示.
笔者经过大量的搜集调查，发现在分式方程无解这里教师一般有这样两种解释
一、同解原理说
典型代表就是已故的北京市第二十二中的孙维刚老师，孙老师认为：[1]解方程的根据，只能是方程同解原理.
原理1 方程的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程.
原理2 方程的两边都乘以（或都除以）不等于零的同一个数，所得方程与原方程是同解方程.
同解方程是两个方程的解“相同”,只有当第一个方程的解都能使第二个方程成立，而第二个方程的解又都能使第一个方程成立时，这两个方程才是同解方程.
在原理2中，方程两边都乘以（或都除以）的，只能是同一个“数”，而不能是同一个“整式”，并且，这同一个“数”，还必须不是零.如果把原方程的两端乘以同一整式，例如，那么，把x=1,或x=-1代入原方程，原方程不一定满足，但把它们代入新方程，这时新方程就比原方程多了两个解“1”“-1”即：把一个方程的两边乘以同一整式后，有产生增根的可能性，因此，解分式方程必须要验根.但是，方程两边乘以同一个整式并不意味着一定会产生增根，因为，如果所乘的值不可能为零，例如，两边都乘以时，新方程和原方程仍同解.
因为孙维刚老师站位比较高，他的教学已经形成一个体系，很多年轻老师不一定具备这个能力，不一定能够很好地模仿.另外，也有教师认为:既然同解原理如此重要，为什么在教材当中把它删掉？是不是有什么原因和道理？对此，也存在一定的争议.
二、范围扩大说
解分式方程，去掉分母之后解的范围扩大了，从原来的分母不为0，变成未知数可以取任意值，从而导致产生了增根，也就是说分式方程无解.这种解释方式学生能够理解，但是还不能从根本上打消学生的顾虑与困惑.
三、 笔者尝试这样解释：
既然把分式方程放在分式这一章来学习，学习者应该站在整个分式这一章的高度去看待问题.既然是分式方程，它里边肯定包含着分式，那么既然是分式就存在着一个分式必须要有意义的问题，也就是说不管在什么情况下，分式的分母都不能是0！
以人教版八年级上册数学教材中的原题为例：
可以对这个方程进行通分
移项、合并得：
即：该分式的值为0，根据前面学习过的分式值为0的条件：（1）分子=0（2）分母0
得：，
原方程无解
由于解分式方程有可能产生无解的情况，因此必须要验根！
从“分式必须有意义”的本源去解释这个问题，站在分式整章的角度去看待本章中的问题，就能够抓住问题的本质:分式方程，它和别的方程是与众不同的，它是一种“先天不足”的方程，它带有自身的缺陷：分母不能为0！而整式方程却不存在这样的问题.
由于分式方程的这一特殊性，因此笔者在讲授分式方程时曾经编过这样一个顺口溜：
分式方程不一般
自带分母有缺陷
去掉分母解出根
需要带入去检验
做学问有三重境界：
第一重境界是“看山是山”.这时，处在看问题的初级阶段，只会具体的、孤立的看待问题，而不能普遍联系的看待问题.
第二重境界是“山不是山”.此时，不再单纯地、孤立地看待问题，而是会用联系的观点分析问题、看待问题.
第三重境界是“山还是山”.此时，能够认识事物的本质：分式方程里面一定含有分式，而这个分式必须要有意义！这是分式致命的问题，不管什么情况下都必须要满足.能够回到知识的源头去考虑问题，此时就能道法自然、自然而然.
参考文献
[1]孙维刚. 孙维刚初中数学[M]北京：北京大学出版社，2015：17-19.