凡森泉
南京市第十三中学
摘要：圆锥曲线相关问题是高考数学中分值占比较高，不但是高中数学的关键知识内容，也是高考的必考点，对于学生来说是需要好好把握的重难点。本文主要根据笔者的经验结合近两年高考试题对近几年有关设而不解的巧妙解决圆锥曲线相关问题做分析，给学生一些建议。
关键词：高考数学；圆锥曲线；直线；几何性质
引言：
圆锥曲线在高考数学中的试题分值占解析几何总分值的三分之二，约占全卷总分的13%，圆锥曲线相关的试题一般有2道或者3道，其中2道为选择题或填空题，一道为解答题，是高中数学的重点难点，更是必考点。很多学生认为圆锥曲线相关问题很难，其实把握好其中的关键点和解题思路，此类题就可以轻松成为得分项。本文近几年有关设而不解的巧妙解决圆锥曲线相关问题做出归纳，并给学生一些建议。
问题1
学生常常由于对几何结题方法的不熟悉而不知道该从什么地方开始解题，不容易找到解题的突破口，甚至部分同学看到圆锥曲线题就深感头痛，使得本身出现错觉，认为圆锥曲线相关问题相对较为困难，在碰到相关问题时，出现得分少甚至不得分的情况。从解题策略来看，圆锥曲线与直线的相关问题一般可以运用两种方法来解决：一是转化为一元二次方程解决。由于直线方程是一次方程式，圆锥曲线方程为二次方程式，因此，在解题过程中，可以通过直线与圆锥曲线方程相交之间的关系，通过韦达定理将问题转化成一元二次方程解决。首先，要做的是以斜截式方程表达直线，然后，与圆锥曲线方程联立起来，得出其相关参数关系，最终结合题意或其他给定条件及韦达公式化简方程式，最后解出一元二次方程即可；以下分别通过两例高考实例分析讲解，其中，实例1为抛物线相关题型，实例2为椭圆相关题型。
实例1 （2018年高考文科数学 全国I卷第20题）设抛物线C：y2=2x，点A(2，0)，B(-2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点，
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：∠ABM=∠ABM。
解析：（1）当直线l与x轴垂直时，x=2，代入抛物线C得y=±2，因此点M为(2，2)或者(2，-2)，直线BM的斜率kBM=1/2或者kBM=-1/2，则直线BM的方程为y=1/2 x+1或者y=-1/2 x+1。
（2）设点M、N分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线BM、BN的斜率分别为k1、k2，k1= y1/(x1+2)，k2= y2/(x2+2)，要证明∠ABM=∠ABM，即可转化为证明k1+k2=0，整理得k1+k2=(1/2y1y22+1/2y12y2+2y1+2y2)/(x2+2)(x1+2)，其中k1+k2的分子为(y1+y2)(1/2y1y2+2)，设直线l为my=x-2，与抛物线方程联立得到y2=2(my+2)，整理成一元二次方程一般式得y2-2my-4=0，由韦达定理得y1 y2=-4，则1/2 y1y2+2=0，故k1+k2=0，从而∠ABM=∠ABM得证。
评注：从知识点出发，本实例出题人主要考察了抛物线方程的图像、基本性质和直线斜截式方程以及韦达定理的一些应用。其中值得注意的是包含了一种将平面问题转化为代数问题的思想，要证得两角相等，只需将其转化为相关代数式，本题中即为两直线斜率之和为零的一个隐藏关系。理清做题思路之后，可以按照上面所讲的做题步骤，根据题意设含参直线方程，与抛物线方程联立消参求得一个一元二次方程，结合其他条件，通过韦达定理判定等式成立即可成功证得结果。
实例2 （2018年高考理科数学 全国I卷第19题）设椭圆C：x2/2+y2=1的右焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)。
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB。
解析：（1）右焦点F的坐标为(1,0)，将x=1代入椭圆C：x2/2+y2=1得到y=±√2/2，故点A坐标为(1,√2/2)或(1,-√2/2)，又点M的坐标为(2,0),则直线AM的方程为y=±√2/2(x-2)，即直线AM方程为√2 x+2y-2√2=0或√2 x-2y-2√2=0。
（2）①当直线l的斜率不存在时，根据椭圆的对称性可知∠OMA=∠OMB；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-1)，代入椭圆方程x2/2+y2=1得到(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0，?＞0成立，则有x1+x2=4k2/(1+2k2)；x1x2=(2k2-2)/(1+2k2)。设kAM=k1，kBM=k2，要证∠OMA=∠OMB，只需证k1=-k2，而k1=k(x1-1)/(x1-2)，k2=k(x2-1)/(x2-2)，即k(x1-1)/(x1-2)=-k(x2-1)/(x2-2)，只需证2x1x2=3(x1+x2)-4，分别代入x1x2与x1+x2，即可证得左式等于右式，故∠OMA=∠OMB得证。
评注：从知识点出发，本实例出题人主要考察了椭圆方程的图像、基本性质和直线斜截式方程的一些应用。本实例与实例1出题思路相似，只是实例1为抛物线方程，本实例为椭圆方程，解题思路也是讲平面问题转化为代数式问题解决。此外，本题难点在于直线的假设上，许多学生机械用斜截式设直线方程，默认其斜率存在，这是一个惯性思维，也是学生们思路不清晰时易犯的错误，此处需要考虑其与坐标轴垂直的情况，即斜率不存在的情况。
问题2
二是设而不求巧妙求解。分析问题过程中，假定一些量以参数形式表示，但不对其求解，然后利用这些假定量进行解题，设点的坐标，然后代入圆锥曲线方程中，分别得到其参数关系，消参最终解决问题。以下通过一个高考数学实例3进行分析讲解。
实例3 （2020年高考文科数学 全国I卷第21题）已知A、B分别为椭圆E：x2/a2+y2=1 (a＞1)的左右顶点，G为E的上顶点，AG·GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D。
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点。
解析：（1）由题意得点A(-a,0)，点B(a,0)，点G(0,1)，AG=(a,1),GB=(a,-1),AG·GB=a2-1=8，因此有a2=9，所以椭圆E的方程为x2/9+y2=1。
（2）动点P在直线x=6上，设P(6,t)，则直线PA的斜率为t/9，直线PA的方程为y=t/9(x-3)，联立直线PA与椭圆E得到(9-t2)x2+6t2x+9t2-81=0，解得xA+xC=-6t2/(9+t2)xAxC=(9t2-81)/ (9+t2) 有xA=-3 则xC=(27-3t2)/ (9+t2)，又因C点在直线PA上，所以有y=t/9(x-3)=6t2/9+t2，则C点坐标为((27-3t2)/ (9+t2), 6t2/(9+t2))。
同理，直线PB的方程为y=t/3(x-3)，联立直线PA与椭圆E得到(t2+1)x2-6t2x+9t2-9=0，因此有xB+xD=6t2/(1+t2)，xBxD=(9t2-9)/ (1+t2)，因为xB=3，所以有xD=(3t2-3)/ (1+t2)，点D的坐标为((3t2-3)/ (1+t2), -2t2/(1+t2))。
由椭圆对称性可知，定点在x轴上，故设定点M(m,0)，①当直线CD不与x轴垂直时，有kCM=kDM，整理得9+3m+(3m-9)t2=27-9m+(m-3)t2，故有9+3m=27-9m且3m-9=m-3，得到m=3/2，因此直线CD过定点(3/2,0)；②直线CD垂直于x轴时，xC=xD=m，因此有t2=3m=3/2，则有直线CD过定点(3/2,0)，综上可知直线CD过定点(3/2,0)，得证。
评注：从知识点出发，本实例出题人主要考察了椭圆方程的图像、基本性质、直线斜截式方程、向量坐标的一些应用。动点问题求轨迹方程一直以来都是高中数学中的难点，对于不能熟练掌握圆锥曲线性质和图像的学生来说更是难上加难，往往不知道如何下手，且此类题有大量含参计算，学生不细心亦容易出错，这类题往往得分相对较低。本实例即为标准的设而不解求解，要证得直线过定点，一般来说我们要知道直线上的两个点的坐标，此处即要求C、D坐标。利用动点P与定直线的关系假设出点P的坐标，再根据其与椭圆的线性关系，分别求得C、D含参坐标，显然C、D也是在变动的。要证直线CD过定点，不妨再假设其有定点，绘图，椭圆外直线上一点与椭圆左右顶点形成的直线与椭圆的另一交点形成的直线，若有定点根据椭圆的对称性，其必然在x轴上，这是一处隐藏条件，也是本题解题的关键点，设得定点坐标即可代数求证。
结束语
结合上面几个实例，不难发现，出题人考察的知识点都不难，解题思路也基本大致相同，更多地是要求学生灵活运用，充分挖掘题中隐藏的条件，寻找出隐藏关系，问题自然迎刃而解。以下给出几点建议：1.对基础知识点有全面的认识，学生往往因为填鸭式教学对知识点一知半解，难以做到举一反三，可以通过一些真题将圆锥曲线问题分类，对于任一题型解法做到心中有数。2.收集一些巧妙解题的例题，开拓自己的解题思维，学习深度挖掘题目条件，增强自己灵活运用知识点的能力。3.基于对知识点的全面了解，勤加练习，克服对圆锥曲线问题的恐惧，认真仔细，在圆锥曲线转换为代数问题后，考虑情况要全面无遗漏。
参考文献
[1]王玉林.巧设直线方程,解决直线与圆锥曲线相关问题[J].数学学习与研究，2011(13).
[2]沈兆益.论求解圆锥曲线的切线及相关问题的常用结论及推导[J].新教育时代教育学术成果汇编，2019.