彭丹妮
温州市龙湾区永强中学，325000
一、问题的提出
圆锥曲线中有很多优美重要的性质，然而，现行教材只讲了圆锥曲线最基本的性质，其他部分性质仅以例题或习题的形式出现，其背后隐藏的本质规律在教学大纲中没有教学要求，这对减轻大部分普通学生的学业压力来说，有一定作用。但由于掌握某些性质、结论，往往能秒杀看起来颇为棘手的问题，因此，从考试的角度出发，适当补充一些常见的性质和常用解题策略是可取的。在众多考题中，有许多是以圆锥曲线的对称性作为高考题的命制背景，笔者在高三的实际教学中发现，对于教师补充的性质、规律，学生掌握得并不好，一是印象不够深刻，容易遗忘；而是学生对于补充的性质一知半解，不能综合应用。究其原因，笔者认为，其中一个重要的原因是，教师没有把额外添加的教学内容进行合理地设计，只是生硬地强加给学生，且没有后续的强化训练。
由于新冠肺炎的疫情影响，各地推迟开学时间，鼓励线上教学。笔者所在学校组织教师利用钉钉进行线上教学。在实际的教学中，笔者体会到线上教学的两大优势：一、空间优势，师生在家进行教学活动，减少了面对面接触，在防止新冠病毒的传播上，起到巨大作用；二、对知识的掌控更强，在线教育支持课后重温，当学生忘记了某个知识点，或者在听某节课分心了的时候，都能对课程进行重新学习，无论何时何地，只要你想进行重温即可马上进行。在线教育中的时间是宽泛的，没有时间的限制，更有利于学生对自我时间的安排。但是同时，也有如下弊端：对学生的自律性要求高，学生的思维容易中断，情感交流缺乏。
基于上述的分析，笔者认为，线上教学对知识的凝练度要求更高，要有更加清晰的教学目标，能够明确地抓住学生思维的痛点和难点，有的放矢地进行教学，尽最大努力调动学生的积极性，尽可能地与学生多互动，同时对信息技术的熟练掌握也是能够顺利进行教学的关键.
二、教学目标
1.引导学生探索并掌握中心堆成及轴对称的解决方法；
2.通过对称问题的研究和GeoGebra辅助教学，进一步理解数形结合的思想，提高分析问题和解决问题的能力；
3.通过对称问题的探讨，使学生进一步利用运动变化的观点，化归的思想来分析和处理问题.
三、教学重点
圆锥曲线中关于点和直线的对称问题.
四、教学过程：
（一）提炼方法
教师打开事先做好的课件，GeoGebra软件，在钉钉群里发起直播，开启屏幕分享功能.
师：前面复习过了几种常见的圆锥曲线，并讨论了曲线的性质.这节课我们来继续研究关于对称的问题。
我们以抛物线为例，来看看这个问题：
例1 已知过点的动直线与抛物线G:相交于B,C两点.设线段BC的中垂线在轴上的截距为,则的取值范围是 .?
师：这道题中是否有蕴含对称关系？
生：已知条件的“中垂线”隐含了点关于直线对称.
（学生在消息面板上回复）
师：联系对称知识，设BC的中垂线为，此时B、C关于对称可以得到什么几何关系？
生1：BC的中点在上.
师：很好，还有吗？
（线上授课时，师生的互动会有稍许延时，因此，教师需要等待片刻）
生2：直线BC与垂直.
师：回答得很准确，如何用数学语言来表达两个几何关系？
生3：设BC的中点坐标为(x0,y0),利用中点公式：x0=，y0=，与垂直可表示为.
师：这两个表达式又使你联想到什么方法？
生4：韦达定理有可能可以解决这个对称问题.
师：可以试试，接下来的几分钟时间交给大家，请同学们写写看，再拍照上传.
生5：（拍照上传）
设l的方程为y=k(x+4),BC的中点坐标为(x0,y0), B(x1,y1),C(x2,y2).
由得x2-4kx-16k=0①,
∴x0=, 将x0 代入的方程，得到y0=k(x0+4)=2k2+4k,
∴线段BC的中垂线的方程为y-2k2-4k=-(x-2k),
∴线段BC的中垂线在y轴上的截距b=2k2+4k+2=2(k+1)2.
生5：得到了截距b和k之间的关系，因此.
师：解答得很好，不过，有一个问题：是不是所有的直线l都与抛物线有两个交点？
此时，教师打开GeoGebra文件，来演示图象，使学生能更加直观地感受图形的动态过程：
生5：我明白了！利用韦达定理时，需要直线与抛物线有两个交点，因此，对于方程①,判别式Δ=16k2+64k>0，从而得到k>0或k<-4.所以b∈(2,+∞).
师：干得漂亮！总结上面的做法：将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,注意不能忽视对判别式的讨论.我们给这个方法取个名字：韦达法.
师：还有什么方法可以解决这个问题？
学生思考中，由于线上数学课，不能停留太长时间，因此，笔者给予一些提示：
师：中点公式中包含的x1+x2,y1+y2,等结构，是否可以联想到之前学过的方法？
生6：点差法.
师：请同学们用点差法再来解决这道问题试试？再拍照上传解答过程.
生6：（拍照上传的解答过程如下）
∵B,C在抛物线上,∴=4y1,=2y2, 两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=4(y1-y2).
又x1+x2=2x0∴x0 (x1-x2)= 2(y1-y2) 即=, ∴kBC=,
∴,代入中点坐标得
令中垂线为, kl=，∴直线的方程为：,
令,得，整理得
师：非常好，已经找到与之间的关系.
生6：该如何求得的取值范围？
师：问的好！我们来看看图像能否给我们什么启发？
（利用GeoGebra进行动态演示：运动B，C中的一点，追踪中点D，启发学生数形结合，求得的取值范围）
生7：的范围是，可以得到b∈(2,+∞).
师：点差法:若直线l与圆锥曲线C有两个交点A,B,一般地,首先设出A(x1,y1),B(x2,y2),代入曲线方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立中点坐标和斜率的关系.最后，利用图像特征求得参数的范围.
例2 过点M(1,1)的直线l与椭圆+=1交于A,B两点,且点M平分弦AB,则直线l的方程( )
A.4x+3y-7=0 B.3x+4y-7=0 C.3x-4y+1=0 D.4x-3y-1=0
师：这道题里的对称关系在哪里？
生8：点M平分弦AB就是A、B关于点M对称.
师：可以用什么方法来解决？
生9：可以用中点公式，韦达法和点差法都可以试试.
师：那大家尝试一下看看。
生10：（拍照上传的解答过程如下）
设l的方程为y-1=k(x-1),即y=kx-k+1. 由整理得(3+4k2)x2-8(k2-k)x+4k2-8k-8=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.∵AB的中点为M(1,1),∴=2,解得k=-.
∵点M(1,1)在椭圆内,则直线l的斜率一定存在, ∴k=-满足题目要求.
∴所求l的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.
生11：（拍照上传的解答过程如下）
设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆的方程可得+=1,+=1, 两式相减可得+=0，整理得+=0. ∵x1+x2=2,y1+y2=2,=kAB, ∴kAB=-=-, ∴直线AB的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0
师：两位同学都解答得完整，漂亮！事实上，在用点差法时，里面还隐藏了一个规律：kAB，，则=，也就是说：若点M坐标变动不变。
（利用GeoGebra进行动态演示）：
运动A点，则直线AB的斜率变，同时直线OM的斜率也在变，但是两者的乘积不变.因此得到如下定理：
定理1 若A,B是椭圆 (a>b>0)上（不是长轴的端点）的两个点，M是AB的中点，直线AB,OM的斜率分别为，则为定值。
师：由于证明过程与前题的部分解题过程类似，这里就直接给出了。
设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆的方程可得+=1,+=1, 两式相减可得+=0，整理得+=0∵
∴（也可写为∴）
由于在双曲线中的结论与定理1类似，证明的过程类似，这里也直接给出：
定理2 若A,B是双曲线 (a>b>0)上（不是长轴的端点）的两个点，M是AB的中点，直线AB,OM的斜率分别为，则。
（二）真题演练
师：现在我们来解决2015年浙江卷的圆锥曲线题：
已知椭圆上两个不同的点A,B关于直线l:y=mx+对称．求实数m的取值范围；
还是将时间交给同学们，请选择适当的方法来解决.
生13：（拍照上传的解答过程如下）
由题知,故可设直线的方程为，
与椭圆方程联立，得：消去并整理得
且
设A(x1,y1),B(x2,y2),则，.
设线段AB的中点为P(x0,y0)，则，
由于点在直线上，所以，即，
代入，得，解得 ，∴.
师：非常漂亮的解答！在使用韦达定理的同时，没有忘记前提是！
生14：设线段AB的中点为P(x0,y0)，
由得到 ，∴ ∴
∵在直线上，∴ ∴ ∴
∵在椭圆内，所以∴.
师：利用点差法可以秒杀这道题！为了求参数范围，需结合图像性质。
师：今天我们讨论了有关点关于定点、定直线对称的问题． 解决这些问题的关键所在就是牢固掌握灵活运用对称知识的思想方法，结合图像利用数形结合思想解决问题．
课后思考题 已知双曲线x2-=1上存在两点M,N关于直线y=x+m对称,且线段MN的
中点Q在抛物线y2=9x上,则实数m的值为 ( )
A.4 B.-4 C.0或4 D.0或-4
【设计思路】课堂上题目所涉及的圆锥曲线是抛物线和椭圆，双曲线还未涉及到，同时课堂上给出的定理2在本题中可以得到运用，使学生加深对结论的印象。
五、教学反思
（一）充足的准备
课堂上可能出现的情况，要演练和预设好，保持网络的通畅。学习各项先进的信息技术，让呈现方式更加多样化，充分调动起学生的好奇心，抓住学生的注意力，尽快让学生融入的学习当中。
（二）找准互动点
线上教学，在互动上对教师把握课堂节奏的能力提出了更高的要求，因此，教师需要结合学生的实际情况，做好应对各种可能出现的情况，做好“什么问题马上回答”，“什么问题”课后解答，“什么问题”可以加入到课堂的环节当中。
（三）大数据支持的课后作业反馈
线上教学，我校采用 “提分宝”来对学生的作业进行反馈，既可以了解学生个体的情况，也可以得到班级乃至全段的学情报告，同时对于像圆锥曲线这样的大题必考点，教师也可以在学生答题卷上给予评价，切实有效地了解和反馈各项学习情况，为教师的备课提供了依据。