万忠
广东省深圳市龙华区龙华区观澜中学
摘要：多面体的外接球问题是近些年考试中常见的题目类型，也是学生丢分的环节。许多学生在面对多面体外接球问题时常常会感到束手无策，不知道应该采用怎样的方法。本文将结合笔者教学经验，通过简单的例题具体分析度免提的外接球问题，希望能够为该类型题目的教学提供一定的参考借鉴价值。
关键词：外接球；高中数学；教学
立体几何是高中数学阶段的重要学习内容，而球则是立体几何中的重要组成部分。多面体的外接球问题是高考中常见的一个考点，对学生来说也是一个难点，一方面是不知道应该怎样去构建图形，另一方面是面对画出的图形找不到分析的思路，不知道球心的位置，更无法去计算半径。因此，在近些年的数学考试中，多面体的外接球问题就成为了拉开学生分数差距的重要题目类型。解决这类题目的关键就是要确定球心的位置。本文将从笔者课堂的教学经验出发，具体对多面体外接球问题的处理方法进行分析与探索。
一、球心的基本知识
在一个空间内，若有一点到某一几何体各顶点的距离都相等，那么这个定点就是几何体外接球的球心。[1]其性质为球心与截面圆的连线垂直于截面圆。
根据球心的定义以及性质，我们可以得到一下几方面的结论：
1、长方体的外接球球心是其对角线的重点，半径的长度即二分之一对角线的长度。
2、直三棱柱的外接球球心是两个底面直角三角形外心连线的重点，外接球半径可以通过以球心、底面圆心以及底面一个顶点为顶点的直角三角形来计算。
3、正棱锥的外接球球心在正棱锥的高上，外接球半径的计算可以通过以球心、底面中心以及底面一个顶点组成的直角三角形来进行计算。
二、多面体外接球问题解题策略
常见的解决多面体外接球问题的方法包括了补形法、找球心法以及坐标法，为了帮助学生掌握这三种解题方法的思路，笔者在教学中通过一道最基础的例题进行了详细的阐述。
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1、补形法
在解决多面体的外接球问题时，我们可以将题目中的多面体构造出其他的具有典型特点的几何体，例如将三棱柱构造成四棱柱，将特殊多面体构造出直三棱柱、长方体等等。然后再借助这些构造出的直三棱柱、长方体等立体图形外接球球心来研究多面体的球心，找到解决问题的方法。
解法一：
分析：直三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC为直角三角形，如果我们将直三棱柱补为四棱柱，那么四棱柱的体对角线就是三棱柱的外接球的直径，自然我们便可以根据直径得出半径。
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2、找球心法
在几何体中，我们可以通过一下两种方式来找到各顶点距离相等的点：（1）在四面体中，如果四面体两个面是公共斜边的直角三角形，那么球心就是斜边的中点。[2]（2）在直三棱柱中，外接球的球心为直三棱柱两个底面三角形外心连接的中点位置。在解题过程中，我们可以通过这些相等关系来找到外接球的球心，解决问题。
解法二：
分析：通过直三棱柱的性质我们可知两个底面三角形外心连接的重点位置就是外接球的中点位置，在本例题中，因为底面直角三角形以及高的长度都是已知的，在找到外接球球心之后，通过构建三角形的方式便可以求得半径。
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3、坐标法
坐标法就是通过直角坐标系的建立，通过球心到四个顶点距离相等来计算出球心坐标。[3]
解法三：
分析：因为球心到顶点距离相等，我们可以在直三棱柱中建立直角坐标系，设圆心O的坐标为（x，y，z），然后通过已知条件建立方程组求解。
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三、结语
本文简单分析了多面体外接球的基本问题，但是，多面体外接球所覆盖到的问题种类、内容十分广泛，想要真正的解决这些问题，教师必须要在教学中通过教学情境的创设不断开展深入教学，利用题目的变式让学生将知识联系起来，引导学生发挥出自己的认知能力和探索能力，逐渐克服每一个问题，提升解题能力。
参考文献：
[1]童其林.外接球和内切球半径的求解策略[J].福建基础教育研究,2020(07):53-58.
[2]陈文旭.多面体外接球的求解策略[J].中学教学参考,2020(17):10-11.
[3]王英君.浅谈多面体外接球半径的求法[J].高考,2019(19):22.