赵泽高
成都市大弯中学校 610300
摘 要：在物理竞赛培优教学过程中采用微元法和微积分法拓宽学生的分析、表达和演算；提高学生创造性思维能力。本文针对几个典型例题采用微元法和微积分法进行分析、讨论、演算和点评，从而认识到微元法和微积分法解题的关键点及数学运算的难易程度，有助于学生根据自己的数学知识采用适当的解题方法快速准确解题。
关键词：微元法；微积分；物理竞赛；培优
Application Of Infinitesimal Method and Calculus In Physics Competition Excellent Training
Abstract: Infinitesimal method and calculus method are notonly applied to expand students’ ability in analysis, expression and calculation duringphysics competition excellent training, but also applied to improve students' creative thinking ability.This paper aims at adopting infinitesimal method and calculus method to analyze, discuss, calculate and comment on several typical problems, so as to realize the key points of solving problems by infinitesimal method and calculus method and the difficulty degree of mathematical operation. This is also helpful for students to solve problems quickly and accurately by using appropriate method according to their own mathematical knowledge.
Key Words: Infinitesimal Method；Calculus；Physics competition；Excellent training
引 言
物理学是一切自然学科的基础，它被公认为科学技术发展中最重要的带头学科，物理学对各种工科专业有直接或间接的支撑。例如，1917年爱因斯坦提出的光的受激辐射理论，导致了1960年激光器的产生，人类社会在21世纪步入了多媒体时代。全国中学生物理竞赛活动是物理顶尖人才的选拔培养的重要推手之一，许多省级重点中学开展了物理竞赛培优教学工作，取得了较好的成绩「1」。物理竞赛培优目的是调动那些学有余力，对物理学有兴趣的学生学习物理的积极性和主动性，充分发展他们的特长，开发他们的潜能，增强他们独立思考能力和创造性思维能力「2，3」。如何达到该目的呢？笔者在物理竞赛培优教学过程中体会到有机结合运用微元法和微积分法进行解题训练，可以达到事半功倍的效果。
1. 微元法和微积分的区别和联系
微元法是物理学中研究连续变化量的一种常用方法, 即把整个复杂、变化的物理过程分解为许多时间上短暂的小过程或空间上的小段，把研究对象整体分割成大量的微小的单元来考察, 然后通过对这些小过程或微小局部空间段进行数学上的求和运算，从而归纳出适用于全过程或整体的结论。主要数学运算是初等数学中的求和运算，而求和运算有时简单有时比较复杂难于得到计算结果。
微积分可以用来解决常规数学方法难以解决的不规则形状的面积、体积或者类似问题。它的基本原理也很简单，任何复杂的形状都可以由简单的形状拼接而成，复杂形状没有公式计算，简单形状有公式计算。组成这些复杂形状的基本单元越小，复杂形状的近似程度就越高，当组成单元小到无限小的时候，这些无限小的规则形状就可以组合成任何复杂形状了。我们把dx看成一个无限趋近于0却又不等于0的无穷小量，复杂形状对象的整体特性就是无穷小量dx的连续求和运算。微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法?。
微元法和微积分法均是将整体分解为大量的小部分，前者是有限小可以离散求和的初等数学运算，该运算较为复杂。后者是无限小求和，只能采用高等数学中的微积分理论方法进行运算，运算过程简单清晰。微元法适合于初等数学基础和数学解题技巧均优异的学生，微积分法适合于具有微积分基础知识并能记住几个常见的求导公式和积分公式的学生。
微元法和微积分法的解题思路是相同的，大致分为三个步骤。第一，将所研究的对象进行分割为小量, 假设研究对象发生了微小的变化Δx或dx, 如经历了一小段时间Δt (微元法)和dt(微积分法)。第二，从该小量入手, 以某个小量为研究对象，找出所选取的小量变化所遵循的物理规律，列出对应的物理方程（含微分方程）。第三，找出小量个体与整个物理对象或整个物理过程间的隐含关系，列出对应的数学关系式，进行求和运算或求解微分方程，从而求解出所求的整体物理量。
2. 典型例题求解分析
2.1 空间上分隔整体，化变量为常量
对于所研究物理过程或状态的整体来说，各个局部的值是不同的，这个量值不好确定。若将此物理过程或物理状态在空间上无限分割成无数的微元，再取某一个微元来研究，则由于微元极小，其内部各部分间的差异也很小，故可以用确定值的物理量来描述它，建立相关物理量间的关系。
例1. 有一根均匀的弹簧, 其劲度系数为 k，质量M，今固定其一端将其自由悬挂起来， 试求此弹簧在其自身重力作用下的伸长量。
等效法解析：均匀弹簧其质心在其几何中心位置，可以将其看成是弹簧的长度为原来的一半的忽略质量的弹簧在其下连接有质量为M的物体，此时弹簧的劲度系数变为2 k，因此，弹簧伸长为Mg/(2k)。
微元法解析：设此弹簧的自然长度为 l，并假定将其均分为 N 段，则每一小段弹簧的质量为M/N，每小段弹簧的劲度系数为 Nk，取悬挂着的弹簧的某一小段为研究对象, 由于其本身重力很小，可以忽略，而这一小段所产生的弹力便是等于悬挂在此小段下面的各小段弹簧的重力之和「4」。
设这些小段自下而上依次为第 1、2…i…N -1、N段, 则对第 i 段其弹力大小为
当 N 趋于无穷大时，则其总伸长量为 Mg/(2k)。
微积分法解析：设此弹簧的自然长度为 l，弹簧自下而上建立坐标系，坐标原点在弹簧底端。设在x处取一微元段dx，则其下弹簧的重力加上该微元段重力与该微元段所受的弹力处于平衡，建立平衡方程。注意该微元段弹簧的劲度系数为 kl/dx。
式中
表示在x处由于其下弹簧重力的作用导致弹簧的伸长量。解该微分方程，忽略二阶无穷小量，两边积分得到
总伸长量为
，与微元法结果一致。
点 评：该题体现了上面所述的微元法和微积分法解题的一般思路:无限分割—找出所选取的微元所遵循的物理规律，针对该微元段的力学平衡条件，进而求解整体的伸长量。微元法涉及有限分隔求和运算求极限，理解起来较为困难。微积分法的关键是要选好坐标系（包括原点和方向），选取一无穷小的微元段dx，分析该段的力学平衡条件，给出微分方程，分析确定积分上下限，求解方程得到正确的结果。过程清晰，难点在于求解微分方程。
例2. 如图 1 所示，水平放置的金属细圆环半径为a，竖直放置的金属细圆柱( 其半径比 a小得多)的端面与金属圆环的上表面在同一平面内，圆柱的细轴通过圆环的中心 O 。一质量为 m, 电阻为 R 的均匀导体细棒被圆环和细圆柱端面支撑。棒的一端有一小孔套在细轴 O 上, 另一端 A 可绕轴线沿圆环作圆周运动。棒与圆环的动摩擦因数为μ, 圆环处于磁感应强度大小为 B=kr 、方向竖直向上的恒定磁场中, 式中 k 为大于零的常量, r 为场点到轴线的距离。金属细圆柱与圆环用导线 ed 连接。不计棒与轴及与细圆柱端面的摩擦，也不计细圆柱、圆环及导线的电阻和感应电流产生的磁场。问沿垂直于棒的方向以多大水平外力作用于棒的 A 端才能使棒以角速度 ω匀速 转动「4」。
图1
分析：本题看上去较难，但我们用逆向思维分析该题，找到所需要求解的具体问题，逐个演算。首先考虑本题是刚体转动的问题，要用到刚体转动定理。导体棒匀速转动，那么作用在它上面的力矩代数应该为零。棒在转动过程中切割磁力线产生感应电动势，导体棒连成回路的，因此导体棒上应有感应电流通过，从而产生安培力，而安培力在导体棒各处是不同的，该安培力对转轴的力矩也是不同。导体棒在环上转动还受到摩擦力，该摩擦力对转轴的摩擦力矩是比较容易计算的。因此，通过逆向思维分析，解决本题的关键是要计算出作用在导体棒上的安培力及其安培力矩，而磁场是非均匀的，导体棒各处运动速度也是不一样，必须采用分隔方法计算导体棒上各处的电动势，安培力和安培力矩，然后进行叠加得到整个导体棒的电动势、安培力和安培力矩。
微元法解析：将整个导体棒分割成 n 个小线元, 小线元端点到轴线的距离分别为 r 0 ( =0) , r 1 , r 2 , …, r i -1 ,r i , …, r n-1 , r n ( =a) , 第 i 个线元的长度为 Δr i =r i -r i -1 , 当 Δr i 很小时, 可以认为该线元上各点的速度都
为 v i =ωr i , 该线元因切割磁感线而产生的电动势为
（6）
整个棒上的电动势是各微元段的电动势之和
（7）
经过较复杂的初等数学运算可得到整个棒的电动势为（此处过程忽略）
（8）
导体棒通过的电流
（9）
导体棒受到的安培力方向与棒运动方向相反，第 i 个线元 Δr i 受到的安培力为
（10）
作用于该线元的安培力对轴线的力矩
（11）
作用于棒上各线元的安培力对轴线的总力矩为
（12）
导体棒对轴的摩擦力矩为
（13）
安培力矩和摩擦力矩方向相同, 均为阻力矩。要使棒匀角速度转到，根据刚体的动量矩大理，动力矩应等于摩擦力矩。设在 A 点施加垂直于棒的外力 F, 则有
（14）
由式（9）可以可得在 A 点施加垂直于棒的外力 F为
（15）
微积分法解析：首先解决棒以匀角速转动时在棒上产生的感应电动势。以转轴o为坐标原点，导体棒为径向方向r，在距轴为r处取一无限小dr的导体棒，该处的磁感应强度kr，速度为 则该微元棒运动产生的动生电动势为
（16）
则导体棒上总的的电动势为
（17）
导体棒受到的安培力方向与棒运动方向相反，r位置处一无限小dr的导体棒受到的安培力为
（18）
作用于该线元的安培力对轴线的力矩
（19）
作用于棒上各线元的安培力对轴线的总力矩为
（20）
其余过程与微元法相同，最终可得在 A 点施加垂直于棒的外力 F与式（10）相同。
点 评：该题采用逆向思维方法找到解题的关键点，即作用于棒上的安培力对轴线的总力矩，利用刚体转动定理可得到作用于A点处的作用力。微元法将导体棒有限分隔求和运算，并运用初等数学技巧才能得到结果，而该技巧大多数学生是想不到的，那么问题就不能解决。微积分法的关键是要选好坐标系（包括原点和方向），选取一无穷小的微元段dr,分析该段的电动势、安培力和力矩，对整个棒积分得到整个棒的电动势、安培力和力矩。过程清晰，积分也容易。
2.2 时间上分隔整体，化变量为常量
如图 2所示，在匀强磁场区域与磁感应强度B垂直的水平面中有两根足够长的平行导轨，在它们上面放着两根平行导体棒，棒的长度均为l，质量均为m，电阻均为R，其余部分电阻不计。导体棒可在导轨上无摩擦地滑动，开始时左棒静止，右棒获得向右的初速度v0。试求右导体棒运动速度v1随时间t的变化规律，并讨论右棒的最终运动速度「5」。
图2
解题分析：左右棒单独分析，右棒向右运动，切割磁力线，产生感应电动势和感应电流，右棒受到安培力，应做减速运动，同时，左棒也受到安培力作用也要运动，且向右加速运动。左右导体棒和导轨作为系统，系统没有摩擦内力，也没有受到外力，因此左右棒在运动过程中，系统动量守恒。因此，本题较难。既然要求出速度随时间的变化，那必须对右棒运用牛顿定律。
微元法解析：设右棒开始运动为0时刻，任意时刻t，右棒的速度为v1，左棒的速度为v2 根据动量守恒有
（21）
右棒向右运动，回路中感应电动势为逆时针方向，感应电流为逆时针方向，左棒的安培力向右，左棒向右运动，左棒运动导致回路中感应电动势为顺时针方向。由于右棒速率大于左棒速率，所以，回路总的电动势为
(22)
将0到t这段时间均匀分隔成n等分即
（n足够大）。设在第i-1时间元内，右棒速度为
，时间元很短，可认为是定值；第i时间元内，右棒速度为
。右棒受到安培力作用做减速运动，根据牛顿定律
(23)
对上式进行整理得
(24)
上式表明右棒在第i-1时间元内相对于左棒的速率与第i时间元内相对于左棒的速率之比是一常数，也就是说右棒相对于左棒运动相邻时间元内的速率之比为等比数列，等式右端值大于1，说明右棒速率在等比例减小。同理，对于左棒运用牛顿定律
(25)
对上式整理得
(26)
上式表明左棒在第i-1时间元内速率与第i时间元内速率之比是一常数，也就是说左棒运动相邻时间元内的速率之比为等比数列，等式右端值小于1，说明左棒速率在等比例增大。
对式（19）两边进行n次方
(27)
等式左端是各个时间元内，前一时间元内的右棒相对与左棒的速率的连续乘积，各个相抵消，则方程改写为
(28)
利用特殊极限公式可得右棒的运动速度随时间变化关系
(29)
同理，左棒的运动速度随时间变化关系
(30)
微积分法解析：任意时刻t，右棒的速度为v1，左棒的速度为v2 ，在t---t+dt时间内，右棒速率改变为dv1 根据牛顿第二定律右棒在时间元t---t+dt运动微分方程为:
(31)
对应时刻给出积分上下限
(32)
两边积分得式(29)。
同理，左棒运动的微分方程为，
(33)
给出对应时刻积分上下限
(34)
两边积分可得式(30)。
由v1 和v2表达式看出，解析式与定性分析的结果一致。右棒按指数规律减速运动，左棒按指数规律加速运动，当t趋于无穷大时，左棒和和右棒速率趋于相同为v0/2。
点 评：由上解题分析可知，微元法解决时间分隔问题列方程求解均比较困难，特别是初等数学应用技巧加上特殊极限公式的应用，否则无法求解出最终结果。但微积分法的解题思路过程很清晰，关键是应用牛顿定律的微分形式，给出对应时刻的积分上下限，简单应用积分公式就给出了本题的结果。
3.总 结
物理竞赛培优教学培训工作有助于提高学生学习物理的积极性和主动性，开发他们的潜能，增强他们独立思考能力和创造性思维能力。本文浅析微元法和微积分的区别和联系，给出微元法和微积分法的解题思路和三个主要步骤。结合三道典型例题进行微元法和微积分法求解分析，特别是逆向思维分析找出解题的关键点和突破口，并对微元法和微积分解题进行点评。微元法解决空间时间分隔问题列方程较易，但求解过程难度大，没有初等数学应用技巧，无法求解出最终结果。但微积分法的解题思路过程很清晰，在选择的空间时间无限小段内应用物理定律给出微分方程，找到对应变量的积分上下限，应用积分公式求解微分方程，得到解题结果。在物理竞赛培优教学工作中，注重学生初等数学和高等数学的培训，提高他们的数学知识的运用和解题技巧，提高学生采用微元法和微积分法解题能力，得到快速准确解题。
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作者简介：赵泽高，研究生学历，成都市大弯中学校高级教师、成都市青白江区物理学科带头人、成都市特级校长、四川省名校长。联系电话：13438888466