林方兴
莆田青璜中学 福建省莆田市 351111
【摘要】平行四边形存在性问题是中考热点之一，通常依托平面直角坐标系来探究满足某些条件的平行四边形是否存在。本质是考查对于平行四边形的判定和性质的掌握情况，同时渗透数形结合、分类讨论、函数和方程等思想。本文主要探讨如何在教学中教授学生此类题型解法。
【关键词】平行四边形；分类讨论；函数；平面直角坐标系
平行四边形存在性问题通常涉及到分类讨论、数形结合等数学思想，有时还会结合平面直角坐标系及函数背景进行考查。学习中等及偏下的学生对于解此类问题往往具有一定的畏惧感。如何才能使学生对于此类题型有一些明确的解题方向呢？笔者认为要解决这个问题，还是需要回归平行四边形的性质进行探讨。
类型1 “三定一动”
例1：如图1，平面直角坐标系中，A（5,4），B（-3,2），C(3，-2)，试在此平面中找出一点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标。
分析：首先根据平行四边形的对边互相平行这一性质，可以分别过点A，B，C作BC，AC，AB的平行线，所得到的三个交点即为所求的点D,如图2。
解法1：根据平行四边形对边平行且相等这个性质，考虑使用平移的方式来解题。此题首先需要进行分类讨论。
①若以AB为对角线，则可以看作将线段CB平移至线段AD，点C对应点为点A，可以把点C先向右平移2个单位，再向上平移6个单位。同时将点B也如此平移，可得D1（-1,8）；
注意：此处也可以看作将线段CA平移至线段BD，下面不再赘述。
②若以BC为对角线，可得D2（-5，-4）；
③若以AC为对角线，可得D3（11,0）。
小结：在教学中发现，此题学生会使用两点间距离公式去计算或用构造三角形全等的方式去解题，还有用待定系数法去求解析式再求交点坐标。但这些方法均不够便捷，故不推荐学生使用。
解法2：根据平行四边形对角线互相平分这一性质，可以想到利用中点公式解题。
前置知识：若点C为线段AB的中点，A（xA,yA）,B(xB,yB),则C（）。
简析：①若以AB为对角线，设AB的中点为O，则根据中点公式O（1,3），设D（x，y）。
∵C（3，-2），∴，x=-1; ，y=8.∴D1（-1,8）；
②若以BC为对角线，可得D2（-5，-4）；
④若以AC为对角线，可得D3（11,0）。
小结：当A,B,C三点确定时。点D的存在有三种可能。①点A与点D相对；②点B与点D相对；③点C与点D相对。
对于①，由中点公式可推导出：；同理，对于②，③分别可以得到：
, 。此种解法的优势在于不用画图，可以用于选填题快速求解，具有一定的通用性，故可以推荐学生使用。
类型2 “两点两动”
例2（2019宜宾改）如图3，在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=x2-2x-3与直线y=x-3都经过A（0，-3）、B（3,0）两点，该抛物线的顶点为C，设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由。
分析：由于此题中点M和点N都在运动，所以学生在解题中会倍感困得。在教学中应该引导学生发现动点运动的轨迹，以帮助学生理解题意。通过对于轨迹的分析，可以发现此题中必有EC∥MN，所以要构成平行四边形只需要满足EC=MN即可。由于M、N各自的轨迹以及MN所在直线垂直x轴，可以把M、N的坐标表示出来：设M（x，x-3），N(x, x2-2x-3)，同时还要留意M是在射线EB上，故x＞1。
解法1：依照有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形这一判定方法，可以先把EC和MN表示出来，在利用EC=MN构造等量关系解题。
简析：易得：C（1，-4），E（1，-2）。∴EC=2。∵MN=| x2-2x-3-（x-3）|=| x2-3x|，
∴| x2-3x|=2。∴①x2-3x=2，解得或（舍去）。∴ ；
②x2-3x=-2，解得x3=2，x4=-1（舍去）。∴M2(2,-1)。（分别如图4，图5所示）
小结：对于所得的结果一定要结合自变量的取值范围来进行取舍。
解法2：依照对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定方法，我们依旧可以考虑使用中点公式来进行求解，当然首先还是要分类讨论。
简析：①如图4，当点E和点M相对时，yE+yM=yC+yN。∴-2+x-3=-4+ x2-2x-3。
解得或（舍去）。∴ ；
②如图5，当点E和点N相对时，yE+yN=yC+yM。∴-2+ x2-2x-3=-4+x-3。解得x3=2，x4=-1（舍去）。∴M2(2,-1)，综上所述，，M2(2,-1)。
小结：此种解法其实无需画图，只要判断好了位置，就可一步到位解题。
总之，解平行四边形存在性问题时，无论遇到的是“三定一动”型还是“两定两动”型，解题的关键都在于找出动点轨迹，回归平行四边形的性质，思考最合适的解题方法。