秦玉芳1, 霍海波2，胡媛2
1. 上海海洋大学信息学院，上海 201306
2. 上海海洋大学工程学院，上海 201306
摘要：复变函数与积分变换作为工科类专业的一门必修课，是后续课程《自动控制原理》《信号分析与处理》和《电路原理》等专业课的理论基础课。为了做好数学基础课和专业课的更好衔接，通过案例教学法，建立了基础课中重要知识点和专业课中需解决问题之间的联系，使工科专业的学生认识到复变函数与积分变换的重要性，进而激发学习的兴趣。
关键词：案例分析；复变函数与积分变换；拉普拉斯变换；辐角
中图分类号：G642 文献标志码：A
复变函数与积分变换由于其坚实的理论基础，被广泛地应用于流体力学、弹性力学、自动控制原理、电路分析、信号分析与图像处理、语音识别与合成等工科专业领域 [1]。本课程分为两部分内容。第一部分复变函数是复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数等。第二部分积分变换是傅立叶积分变换和拉普拉斯变换的概念、性质和计算。
1．案例教学法的具体应用
结合工科类专业的专业课，我们详细阐述了《复变函数与积分变换》中幅角和拉普拉斯变换的具体应用。在专业必修课《自动控制原理》中分析开环系统的频率特性时，无论用幅相频率特性法还是对数频率特性法，都需要用到复数的幅角这一概念及其计算。在专业必修课《电路原理》、《信号分析与处理》和《运动控制》中都用到了拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换的计算。
1.1运用复数的幅角计算开环系统的频率特性
关于复数的辐角的计算，在后续专业课《自动控制原理》、《信号分析与处理》、《电工学》课程中都有重要的应用。我们以《自动控制原理》中分析开环系统的频率特性为例，应用复变函数课程中幅角的知识点来求系统频率特性的幅角，从而对自动控制系统的性能进行分析和设计[2]。下面用两个具体的系统来详细地介绍一下。
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就可以得到该系统的幅角。
通过该案例的学习，学生加深了对复数幅角计算方法的理解，并且了解到在具体的案例中，用什么样的形式表示更恰当。
1.2运用拉普拉斯变换法分析线性电路
在电路专业必修课《电路原理》、《信号分析与处理》和《运动控制里》中用到了拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换的计算。例如《电路原理》中应用拉普拉斯变换法分析线性电路。
电路处于稳态，如图1所示。当t =0 时开关闭合。
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（3）采用拉普拉斯逆变换及其部分分式展开求出原函数：
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（3）
通过这个案例，学生可以分析电路的各种问题，学生通过具体实例的学习，可以更直观地体会到复变函数与积分变换在后续专业课中的重要作用。
2.总结
本文通过复变函数与积分变换中复数的幅角和拉普拉斯变换在两个具体案例中的应用，阐述了案例教学法在教学中的重要性。在课堂教学中引入案例的学习，不仅可以强化对基础知识的理解，同时可以提高学生的工程素质和实践能力。
参考文献：
[1] 焦红伟, 尹景本. 复变函数与积分变换[M]. 北京：北京大学出版社，2007.
[2] 钟玉泉. 复变函数论[M]. 北京：高等教育出版社，2003.
[3] 胡寿松. 自动控制原理[M]. 北京：科学出版社，2019.
作者简介：?秦玉芳?（1981-），女?，籍贯：河南新乡，民族：汉族，职称：副教授，学历：博士，研究方向：数学教育