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基于微分方程的回焊炉温曲线优化与控制研究李经纬

发表时间：2020/11/3 来源：《论证与研究》2020年9期作者：李经纬

[导读] 摘要：本文主要针对焊接区域中心温度与各温区设定温度以及传送带过炉速度的相关研究，利用牛顿冷却定律建立了高温焊炉对PCB元件的加热微分方程模型。做了模型中的参数因子进行分段处理。首先利用给定的实验数据拟合得到各段的参数因子，然后利用差分迭代，结合给定的各温区温度与传送带运行速度，得到数据相吻合的炉温曲线图并对其进行了误差分析。其次基于加热微分方程模型，并将此问给出的各温区设定温度代入该模型中。最后运

                                                                                   李经纬
                                                  （湖南科技大学数学与计算科学学院湖南省湘潭市 411100）
        摘要：本文主要针对焊接区域中心温度与各温区设定温度以及传送带过炉速度的相关研究，利用牛顿冷却定律建立了高温焊炉对PCB元件的加热微分方程模型。做了模型中的参数因子进行分段处理。首先利用给定的实验数据拟合得到各段的参数因子，然后利用差分迭代，结合给定的各温区温度与传送带运行速度，得到数据相吻合的炉温曲线图并对其进行了误差分析。其次基于加热微分方程模型，并将此问给出的各温区设定温度代入该模型中。最后运用二分搜索算法，在满足条件范围内搜索，并逐步提高搜索精度得到最大传送速度。
        关键词：牛顿冷却定律；微分方程模型；参数因子；差分迭代
        引言
        在集成电路板等电子产品生产中，需要电路板放置在回焊炉中，通过加热，将电子元件自动焊接到电路板上。在这个生产过程中，让回焊炉的各部分保持工艺要求的温度，对产品质量至关重要。目前，这方面的许多工作是通过实验测试来进行控制和调整的。温度传感器在焊接区域中心的温度达到30ºC时开始工作，测试某些位置上焊接区域中心的温度，称之为炉温曲线，电路板进入回焊炉开始计时，并且炉温曲线应满足一定的要求，称为制程界限。实际生产时可以通过调节各温区的设定温度和传送带的过炉速度来控制产品质量，我们将针对此题建立合适的数学模型来进行分析和研究。
        1、问题分析
        各温区温度的数值和传送带的速度，需要在这些数据的基础上建立合适的数学模型求出焊接区域中心的温度曲线。首先给出了某次实验的数据，通过对该次实验的数据进行分段以及对回焊炉各温区的划分，可以得出与位移有关的环境温度曲线。其次基于对热力学的分析，影响焊接区域中心温度的因素众多，模型比较复杂，难以精确求解。为了简化模型，将各温区设定温度和传送带速度之外的影响因素归结为与时间分布有关的参数因子，建立与焊接区域中心温度、各温区环境温度、参数因子、各温区开始处的温度、时间相关的微分方程。进行差分迭代，得出符合解决该回焊炉传热问题的一般模型，从而求出结果。
        2、模型的建立与求解
        根据题目信息，将若干个小温区分成5个大温区，小温区1至5为第一个大温区、小温区6为第二个、小温区7为第三个、小温区8和9为第四个、小温区10和11为第五个。不同大温区（以下简称温区）间隙的环境温度会受到两边温区温度的影响，并且间隙的距离较短，根据假设和题目中某次试验的设定及相关数据，我们通过各温区的环境温度随位移的变化规律建立函数模型。环境温度Tⁱ_E与x位移的分段函数模型：

为了研究出焊接区域中心温度曲线，即炉温曲线的变化（下面把焊接区域中心温度简称炉温），我们首先探究炉温受哪些因素的影响。我们将某次实验的数据绘制成炉温曲线，我们发现曲线整体规律呈现的是先增后减，斜率的变化首先是从大变小，中间的时候又慢慢变大，最后再变小。曲线随着时间呈一定的变化规律，并且受其他因素的影响。接着我们把各温区的温度以及电路板在每个大温区的时间段用虚线划分出来，如图2所示：

图2各温区设定温度与炉温曲线的关系
我们由图像发现，每一段小温区的设定温度对炉温曲线的变化有着关键的影响。我们将炉温曲线分为以大温区为主的五个区间来进行分析。通过图像分析，我们发现前四段炉温的图像都呈现的一定的上升趋势，但并非直线上升，而是呈现了S型的增长规律，这与人口增长模型有着一定的联系[1]。影响人口的增长因素很多，但人口增长的数学模型却将其各种复杂的影响因子归结到一起。我们借鉴人口增长模型，基于牛顿冷却定律建立了高温焊炉对PCB元件的加热微分方程模型。将温区设定的温度，也即环境温度Tⁱ_E以及进入小温区的初始速度Tⁱ₀作为主要的影响因素，而将除上面两个因素之外的例如材料的特性、热量传递的形式等其他影响的因素归结到一个随时间变化的参数因子Q_i中[2]。因此我们根据炉温T与Tⁱ_E环境温度的差值及参数因子Q_i建立微分方程：

将其移项再两边进行积分，得到：

等式左边进行对数间的运算，得到：

两边同时化简去掉对数，得到：

最后可得炉温T的表达式：

该表达式适用于每个区间的一个回焊炉温度加热数学模型。
在建立了一般模型的基础上，我们对（1）式进行适当的变形得到差分方程迭代式：

        针对各类型的问题，使用蒙特卡洛算法总能找到与它相适应的方法来解决，使用蒙特卡洛算法可以解决属于确定性的数学问题。接下来就此概率模型开始大量的随机性试验作抽样研究，最后用模型确定的变量的抽样算术平均值近似等于确定性问题的估计值。计算多重积分、解黎曼积分、个别偏微分方程的边值问题都属于这一类[5]。
        结论
        本文采用数学模型简化的思想，将复杂的影响因素归结到参数因子当中而建立微分方程与规划模型，使用差分迭代算法，所得结果较为精确。按照问题解决思路进行，我们先对环境温度进行预处理，发现炉温与环境温度的规律，对现有的规律进行定性分析。根据分析结果建立数学模型，层次渐进易于理解。以焊接区域中心温度的加热模型为核心，可推广到一般回焊炉工艺。模型拟合程度很好，准确程度较高，为实际操作模式提供了充实的理论依据，然后采用二分搜索算法和蒙特卡洛算法，降低求解难度，提高求解速度，算法可重复利用性好，从而提高模型参数因子的精确度，具有一定的推广价值。
        参考文献：
        [1] 肖华勇.大学生数学建模竞赛指南修订版[M]，北京：电子工业出版社，2019.
        [2] 冯志刚，郁鼎文，朱云鹤.回流焊工艺参数对温度曲线的影响[J]，中电科技集团电子科学院研究EDMI中心电子工艺技术，2004，第25卷第6期：243.
        [3] luckyBoyVirgo.二分搜索算法，https://baike.baidu.com/item/%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%90%9C%E7%B4%A2%E7%AE%97%E6%B3%95，2020.09.12.
        [4] 朱陆陆.蒙特卡洛方法及应用[D]，武汉：华中师范大学，2014.
        [5] 李娟.随机数理论及其在三分法中的应用[D]，沈阳：东北大学，2010.