蔡文银
江苏省南京市秦淮高级中学 江苏 南京 211100
摘要：平面与平面的位置关系是空间立体几何的一个重要内容，证明两平面平行也是高考重点考查的对象。研究两平面平行的条件以及条件如何去应用也是重点关注的地方。
关键词：平行；公共点；判定定理
平面与平面的位置关系是高中数学的一个重要内容，在空间立体几何的板块中占有重要地位。空间中两直线的位置关系以及直线与平面的位置关系的探索过程是培养学生数学思维能力的重要内容，利用图形，文字，符号三种形式表达概念，定理，公式。从目前学生的学情角度出发，个别学生学不好的原因大概可以归为三大类：一是概念混淆，文字语言和符号语言难以等同；二是从定义的来源到定理条件的探求再到判定定理的运用，部分同学对于整个逻辑主线不清晰；三是表述不规范。
一．前期准备工作
在前面的学习中，我们已经掌握了空间中两条直线的位置关系以及直线与平面的位置关系。探索两条直线的位置关系是从一个长方体的模型得到的，并且基于同一平面内两条直线相交或平行引出不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线。直线与平面的位置关系亦是如此。
疑惑一：学生在生活中对于平面与平面的位置关系是否有具体的印象？
为了解决这一疑惑，我借助生活化的例子，放在教学设计的前篇，一共两张图片。其中一张包含教室内的天花板，地板，课桌的图片，另外一张是呈折叠状的屋檐。这两张图片对比放在同一张PPT上，让学生根据生活常见的场景去猜测两个平面的位置关系，更为立体和形象。
疑惑二：学生根据两张图片去猜测平面与平面的位置关系可能会有以下结论：相交，平行，重合，垂直。如何让学生通过启发和思考归纳出平面与平面的位置关系只有平行和相交两种？
为了解决这一疑惑，首先要给出平面与平面平行和相交位置关系的定义，如何引导学生通过公共点的个数来定义平面与平面的位置关系也需要一个自然的衔接。通过带领学生回顾直线与平面的位置关系的探索过程，让学生联想到公共点的个数在直线与平面的位置关系定义中起了一个关键的作用。其次，根据公共点的个数学生会给出平面与平面的位置关系存在相交，平行，重合三种位置关系，在这里我们会再次强调在课本中涉及到的“两个平面”特指“两个不重合的平面”，所以最终根据公共点的个数得出平面与平面的位置关系是：相交，平行。
疑惑三：课本上给出平面与平面的位置关系的定义，并且着重点落在两个平面平行的位置关系上，为何紧接要给出两个平面平行的判定定理？难道根据定义不可以直接判定两个平面平行吗？
为了解决这一疑惑，我们需要意识到数学学科的教育是一致的，连贯的，逻辑主线是清晰的。从数的角度观察，根据公共点的个数固然可以判断两个平面之间的位置关系，但是在很多种情况下题目的设置并没有直接显示公共点的个数。作为立体几何这个板块，对于形的研究俨然要比数的研究分量重得多，所以我们需要一个判定条件，可以按照这种规则直接来判定两个平面是否平行。
疑惑四：苏教版必修二第43页，对于引出两个平面平行的判定条件设计了一个小实验——利用水平仪检测桌面是否平行。水平仪的引入是否极大挑战了学生对于新事物的接受能力？
课本上是这么叙述的——工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的交叉两次都放在中间，就能判定桌面是水平的。
为此，我特意查阅了关于水平仪的工作原理——气泡原理。那么用来判断桌面是否是水平的是否可以这么认为——两次水平仪的气泡居中时，认为水平仪所在直线都与桌面平行，记交叉放置两次的水平仪形成另一个平面，而这个由气泡原理形成的平面是水平的，所以桌面是水平的。基于我们学生学情的考虑，这个实验涉及到从水平仪，气泡原理，以及两次交叉放置的水平仪所在直线以及它们形成的新的平面，桌面所在平面等概念，极大挑战了学生对于新事物的理解能力，接受能力以及空间想象能力。“水平仪”的引入很可能让学生的关注点集中于这个新事物本身，而忽略其用来检测桌面是否水平的原理，故而在实际上课中我们选择放弃水平仪实验去引入两平面平行的判定定理。
并且设计了一些环节帮助学生更好地去探索两平面平行的条件。
疑惑五：给出两平面平行的判定定理，在实际问题情境中如何去运用呢？第一个问题：以哪个面为基准，找到两条相交的直线与另一个平面平行；第二个问题：找到这样的面，以此为基准，证明线面平行的实质要转化为线线平行，线线平行如何去证明？
为了解决第一个疑惑，在证明两个面平行以哪个面为基准的问题上，可以采用尝试法则，比如以第一个面为基准，首先在视觉上观察是否有两条相交直线平行于另外一个平面，然后有的话再思考它的证明是否容易实施，如果这两个条件都满足的话，那就以第一个面为基准。
为了解决第二个疑惑，面面平行转化为线面平行最终转化为线线平行，证明线线平行一般要么借助平行四边形，要么借助三角形的中位线，所以在实际证明过程中观察是否可以把它们放置在一个平行四边形里面或者含有中位线的三角形。
二：教学建构
l问题情境：
问题1：平面与平面可能会有几个公共点？空间中两个平面可能有哪些位置关系？
问题2：如何定义两个平面平行？
问题3：两个平面平行如何判定？
l知识建构：
已知为两个平面
(1)
(2)
l知识运用
辨析题：
(1) 如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )
(2) 如果一个平面内有无数条直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )
(3) 如果一个平面内任意一条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )
(4)平行于同一直线的两个平面平行.( )
例题精选
例1.已知正方体 ，求证：平面∥平面. （老师示范）
变1.在正方体中，分别是棱、、的中点。求证：平面//平面.（学生作答）
例2.已知正方体，分别为,,的中点 。求证：平面∥平面. （老师和学生共同作答）
三．反思与总结
本节课在了解定义的情况下如何去证明两平面平行成为了一个棘手的问题，由于定义在理论方面不容易证明，从而引入两平面平行的判定定理。另一方面，如何引入也是一个问题，根据本节内容的特点和学生的思维认知特点，本节的教学重点定位于对判定定理条件的理解上，教学难点定位于判定定理的应用上，利用中位线和平行四边形等方法证明。平行的平面在我们的日常生活中随处可见，比如教室的天花板所在平面和地面或者桌面等。通过本节课的学习，学生了解了平行平面的定义，也对平行平面的判定定理条件有了一定的认识。在证明实际应用问题中提高了思考能力，能够将所学的证明技巧合理的运用，在书写规范上有了一定的提高。