游飞
（贵州省铜仁市第八中学 554300）
一 教学设计
（一） 知识点
三角函数的诱导公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角恒等变换与解三角形的有关知识。
真题再现：的内角、、的对边分别为，，．已知．
（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
（二） 学习背景
1.教材分析
“三角函数”是以三角函数的定义、诱导公式、三角函数的图像与性质、三角恒等变换为主要内容进行研究。它是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型。“解三角形”是通过对任意三角形边长和角度关系的探索，发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数量关系。作为“一题一课”的复习，理当加强三角函数与解三角的综合应用。
2.学情分析
学生在学习了三角函数及其基本性质、三角恒等变换、解三角形的基础知识上来开展“一题一课”的教学，综合性更强，这就需要学生的基础知识要扎实，会灵活应变，形成一题多解，一题多变，一题多说，多题一解的思想。让学生从题海中解脱出来，能独立思考，发散思维，有自己独有的解题方式。
3.核心问题
（1）求角的方法
（2）求三角形面积范围的方法
（三） 课时目标
1.知识技能：诱导公式、三角函数的求值、平方和关系、商数关系、二倍角、正弦定理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理、两角和的正弦公式、正切函数的性质、一元二次方程的解法。
2.核心素养：本题主要考查了逻辑推理、数学运算、数学建模、数学抽象的数学核心素养，同时还考查了数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想。
（1）.长见识要求：在审题过程中，充分挖掘题目给出的已知条件，通过已知条件联想到已学知识，常见题型，隐含条件等相关信息。找到条件与结论之间的联系所在，把握好逻辑间的先后顺序，知识之间的相互联系性。
（2）.悟道理要求：数学的各知识之间不是相互独立的，有着千丝万缕的联系。解决数学问题时，应要善于思考，思考得越多，运算量越少。在解决生活中的问题时，思考得越远，解决问题的效率就越高，速度越快。
（四）重点难点
教学重点：引导学生分析题目条件所涉及到的知识，并挖掘隐含条件，如何找到知识间的内在联系，从而达到解决问题的目的。
教学难点：找到知识间的内在联系，寻求多种解法，多种变法，在多种解法中选择一条高效、便捷的途径，在多种变法中，体会目标达成与问题产生之间的关联。
（五）设计思路
以高考题为例，引导学生分析题的条件与所求结论之间的联系，分析有哪些方法，不同方法之间的区别与联系，并对不同的方法给予评价，总结出解决该问题的最佳途径。同时，引导学生学会一题多变，如何变让题变得简单，如何变让题变得更难。
二 教学过程
（一）一题多解
1.第（1）问之问题分析、解法分析与教学研讨
（1）第（1）问之问题分析：
求什么：求角；
有什么：已知三角形，边角关系式；
是什么: 属于三角恒等变换及解三角形问题；
（2）第（1）问之解法分析：
①第（1）问解法1（正弦定理+诱导公式+三角形内角和定理）
思路分析：因为已知角与边的关系，要求角，则需将转化到上，所以要用到及诱导公式从而解出角.
，，
又，变形得，
又，或（舍），
由，可得；
②第（1）问解法2（正弦定理+诱导公式+半角公式）
思路分析：因为已知角与边的关系，要求角，则需将转化到上，所以要用到及诱导公式。同时因为有边有角，所以需要将边化角或是把角化边，则用正弦定理，得到角与角的关系，再用二倍用关系，从而解出角.
，，
又，变形得，
又，，，即，
又，，，，
由，可得；
③第（1）问解法3（正弦定理的变形+诱导公式+倍角公式）
思路分析同上；
又，变形得，，
又，，，即，
又，，即，，
，由，可得；
（3）第（1）问之教学研讨：
本题中求角的方式多，但是万变不离其宗，都是在围绕正弦定理、三角和为、诱导公式将角进行转化、倍角或是半角公式、三角函数求角等问题来解决。在此过程中，正弦定理先用后用都是可以的，只是先用的话会让式子变得简单些，但最解决此题最先想到的应该是将角进行转化，毕竟求角问题。
对正弦定理可变形为或变形为进行应用，用前者更为方便，不用讨论.解法2中直接用半角公式可以得出，解法3中对式进行两边平方，还需要解一元二次方程，同时还需要讨论方程的两个解进行合理性并进行取舍.所以解法1是比较好的一种解法.
2.第（2）问之问题分析、解法分析与教学研讨
（1）第（2）问之问题分析：
求什么：求面积的取值范围；
有什么：三角形的类型，边长，第（1）中角的大小；
是什么: 属于三角形面积，三角函数，不等式等问题
（2）第（2）问之解法分析：
①第（2）问解法1（面积公式+正弦定理+函数值域）
思路分析：利用第（1）问结论，先用边将面积表示出来，再由正弦定理求的范围，将两个角转化成一个角问题，最后求面积的取值范围.
由题设及（1）知的面积.
由正弦定理可得:.
由于为锐角三角形，故，.由（1）知，所以，故，从而.
因此，面积的取值范围是
②第（2）问解法2（面积公式+余弦定理）
思路分析：利用第（1）问结论及余弦定理，可用将表示出来，再利用锐用三角形中，角的余弦值大于零得出不等关系，从而得出的范围，再用面积公式即可.
若为锐角三角形，且，
由余弦定理可得，
由三角形为锐角三角形，可得且，解得，
可得面积，．
③第（2）问解法3（面积公式+三角形解的个数）
思路分析：利用第（1）问结论及三角形解的个数问题进行解决.有角和边为定值，则三角形只能是另外两角及两边进行变化，由锐用三角形条件找到临界点即可解决问题.
如图所示，有和为定值，的
形状则由边的长短来确定，又为锐角三
角形，所以临界状态是以角或是以角为
直角时，即与或是重合时.
若以角为直角时，与重合，此时.
若以角为直角时，与重合，此时.
故，可得面积．
④第（2）问解法4（面积公式+坐标法+平面向量）
思路分析：因为已知第（1）问结论及和，在三角恒等变换及解三角形中都有利用向量来解决问题的例子，显然向量是一个解决问题的重要工具，可考虑用向量来解决本问题，而向量又与坐标有密切的关联，所以可进行建系解决.
如图所示进行建立坐标系，设点坐标为，
，，，
，，又因为为锐角三角形，
又由，即，，故面积．
（3）第（2）问之教学研讨：
在四种解法中都用到了面积公式，求面积的公式常见的有①，②，③海伦公式.由于题设中已知了一边和一角，故前三种解法均采用最常见的公式进行求解；在解法4中，由于底边已经确定，面积的变化则只由高引起，故使用进行求解.
因为为锐角三角形，如何利用好锐角来解决问题？
解法1：直接利用角的范围来解，采用的比较常规的手段，由于要求边的范围，转化为求角的范围，利用角的限制条件求解，用到的知识点较多，如两角和的正弦公式，商数关系，函数的单调性，三角形内角和为等知识.过程中进行了角的转化，三角恒等变换，角范围的确定，对于学生来说是不容易想到，也是容易出错的.
解法2：利用余弦定理与余弦函数，为锐用，所以，即可得出三边平方的关系，由于已知，故只需将用表示出来，从而得到关于的不等式，即可求出.此方法主要是从三边的数量关系进行研究，结合学生熟悉的勾股定理，从而得出解题方法.
解法3：利用锐角与钝角的区分点即直角，找到使三角形成为直角三角形时的条件，并数形结合，求出临界值，从而得出范围.此方法是在变化中寻求形与量的关系，从几何的角度进行刻画.结合三角形中解的个数问题进行研究.使用此方法时，不好对解答过程进行描述，很难形成严密的逻辑推理.
解法4：从向量的角度对角进行了刻画，利用数量积的正负对向量夹角进行判断，将数量与几何相结合，浑然一体，将数与形展现得淋漓尽致.此方法比较难以想到，同时对建系与向量的要求较高.
总的来说，解法1是学生多数学生会选择的路，但基本都没有做到最后的答案；解法2、3是少部分同学会选择的，却做得较好；解法4是几乎没有学生能想到并能解决的.
（二）一题多变
1.第（1）问之题源分析、问题启示、同类例举
（1）第（1）问之问题分析：
本问题考查知识点在人教版课本必修5中有所体现，解法1中正弦定理的变形在课本P4、P9页出现，解法2中的变形在课本P10页B组习题第1题，，有体现.
（2）第（1）问之问题启示：
解题时的变形式都能在课本中找到原本的内容，正好说明了高考试题来源于课本.主要考查对课本上内容的熟悉程度，以及对常见公式的变形能力.在以后的教学中，应多以课本为主，加强对课后习题的研究与提升.
（3）第（1）问之同类例举：
真题再现——（2017?新课标Ⅱ）的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；
真题再现——（2004?浙江）在中，角、、所对的边分别为、、，且．（1）求的值；
2.第（2）问之题源分析、问题启示、同类例举
（1）第（2）问之问题分析：
本问题考查知识点在人教版课本必修5中有所体现，解法1中正弦定理的再应用及三角之间的转化和面积公式的应用在课本P17页例7第（2）问出现类似的问题及解法。解法2中利用余弦定理及三边平方之间的关系在课本P6页中的思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方和之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”有涉及。解法3则利用了课本P9页中的探究与发现“解三角形的进一步讨论”来解，讨论了的大小关系。若，此三角形有两个解；若，此三角形有一个解；，此三角形无解；。解法4在必修4课本P125页推导两角差的余弦公式及必修5中课本P5页推导余弦定理时，利用建系与平面向量来解决问题.
（2）第（2）问之问题启示：
上述所用到的方法均能在课本上找到相应的根源，只要对课本的思考、例题、课后习题、探究等问题加以推敲、变式，对知识产生的过程加以关注，多在课本的知识上进行升华，在考试就应该能有所帮助.
（3）第（2）问之同类例举：
真题再现——（2013?江西）在中，角，，所对的边分别为，，，已知．（2）若，求的取值范围．
真题再现——（2013?新课标Ⅱ）在内角、、的对边分别为，，，已知．（Ⅱ）若，求面积的最大值．
真题再现——（2008?四川）在中，内角，，对边的边长分别是，，，已知．（Ⅱ）若，求面积的最大值．
以上的变形同样可以使用前三种解法进行解决。
（三）一题多说
总的来说，2019年全国数学理科III卷第18题作为高考中的第2个大题，难度是有的.第一问主要涉及的知识点多，转弯较大，在逻辑推理中对大前提的要求较高；第二问也涉及到了较难的三角恒等变换以及角范围的确定.
本题主要考查了学生对三角函数中正切函数的单调性、诱导公式、两角和的正弦公式、二倍角（半角）公式、三角形形状的判定、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、一元二次不等式解法、三角函数求值、三角形解的个数、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积、勾股定理等知识的掌握程度.
所涉及的数学思想方法有数形结合、转化与化归、分类讨论、极限问题、函数与方程等.同时还对数学中的核心素养数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模等进行了重点考查，以逻辑推理能力为首要任务.
在解题过程中遇到的很多知识都来源于课本，可见命题人注重知识的产生背景与形成过程，充分体现了数学创造性、发现性、发展性的特点，通过对数学思维方法的提炼与总结，从而呈现数学的思想性.
相对于学生而言，本题得高分是比较困难的，因为该题整体覆盖的知识广，逻辑性强，陷阱较多，学生考虑不周全.同时入口宽，知识点使用的顺序可以不同，解题方法多，要从众多入口和方法选择一条有效的路径并不容易.
（四）一题一诗
正弦余弦是一家，倍角半角都能通。
常规特殊一起来，坐标向量相结合。
变与不变临界点，等与不等建关联。
一个两个谁来断，锐角钝角说了算。
三 学习体验
学生1 通过对“一题一课”的学习，让我对基础知识加深了记忆与掌握，同时更加熟练地运用本章节的知识解决有关问题；
学生2 通过对“一题一课”的学习，让我明白对条件分析的重要性，特别是对隐含条件的挖掘，能从中找到条件与结论之间的联系，从而把握住解题的入口；
学生3 通过对“一题一课”的学习，让我了解到高考题也是由一些基础知识结合的产物，只要我们能抓好基础，就应该可以胜任高考；
学生4 通过对“一题一课”的学习，掌握了解决该类题型的基本方法，以及每种方法的适用范围，对今后遇到类似的问题用哪种方法更方便；
学生5 通过对“一题一课”的学习，让我们与高考题离得更近，在我们平时的解题中，可以自己尝试着对题目进行变化，实现一题多变，从题海中走出来；
学生6 通过对“一题一课”的学习，体会了数形结合、函数与方程、等式与不等式、特殊与一般等方法与思想。
四 教学体验
1 对学生基础知识掌握的反思
本节“一题一课”是对本章节知识的再次应用，学生能对基本的公式等进行识别与简单的记忆，但对公式运用不够熟悉，还需加强对公式的进一步理解与运用。同时对基本题型与基本方法没有掌握到位，对于一道题不能及时判断所考查的知识点及所涉及解题的方法。
2 对学习过程的反思
学生对公式只有其“形”，而无其“神”，只学到了对公式等知识的直接应用，对公式的变形应用及公式该用于何处却不知晓。例如：在本题的第（2）问求面积的取值范围时，很多学生只知道要用面积公式，而不会对公式进行相应的变形。同时求面积的公式有多个，如何利用其他公式去求面积学生不能快速联想到。
3 对教学过程的反思
在本次的教学过程中，对本节课涉及到的基础知识没有进行很好地回顾，使得解题时学生不能及时地联想到所需要的知识，从而师生之间的配合没有达到预想的效果。其次，没能很好地利用好现代设备，导致教学内容不能较好地展现给学生，也使得进度有点紧凑。再次，各种方法之间没有找到较好的方式进行过度，没能把各种方法融合成一个整体。
4 对再次教学的反思
若在对本节内容进行第二次上课时，可以前面基础知识的回顾时，将正弦定理的变形进行复习，从而为第（2）问的用函数思想来求时做好准备。在复习面积公式时可以将三个面积公式列出，每个面积公式对应了相应的方法，即（已知边和边上的高）对应了数形结合法，（已知两边，及夹角）对应了利用余弦定理解决，（已知一边及三角）对应了借助函数思想来解决。这样就可以使各种解法融为一个整体，让本节课更加完整。