徐萍萍
常州市清凉小学
【摘要】 对于“在有乘除和加减的混合运算中，要先算乘除，再算加减”这些人为规定的运算顺序，不少学生在本单元学习之前已经有所了解。但是对于为什么要规定这样的运算顺序，在他的心中其实还存在很多困惑；同时，如何让学生理解递等式，建构新知，加深学生数学学习的深度理解。下面就本节课的几个教学片段，谈一些初步的体会与思考。
【关键词】 探究 思维定势 对比 运算顺序
“不含括号的乘法和加、减法两步混合运算”是苏教版教材三年级下册第四单元“混合运算”的第一课时，主要教学不含括号的两步混合运算。它是在学生此前接触的两步计算式题的基础上学习的，是学习两步混合运算的基础，对发展学生的数学思维能力有着重要的意义。学生在本节课的学习中需要结合解决实际问题的过程初步认识综合算式，初步掌握不含括号的乘法和加、减法混合运算的运算顺序，并且会用递等式表达两步混合运算的运算过程。同时，学生学习活动中，能够感受相关运算顺序的合理性，增强类比迁移和抽象概括的能力，进一步培养认真审题、细心计算、主动检查等良好的计算习惯。本节课教学的重难点是在具体的情境中，让学生理解并掌握不含小括号的两级混合运算的顺序，能正确进行计算。
片断一：回顾旧知，引发认知冲突
师：下面这些算式你会算吗？
课件出示:
15-7+4 9÷3×2 3×4+5
指名学生回答。
师：比较这两道算式有什么相同的地方？
生：都是从左往右计算的。
师：对，运算是有顺序的，还有什么相同的地方啊？
生：它们都有两个运算符号。
师：对呀！像这样含有两种或两种以上的运算，叫做混合运算。
板书：混合运算
师：老师这里还有一道混合运算， 20+5×3，你认为这道算式的结果是多少？
生1 ：等于75。
生2 ：应该等于35。
师：那像这样的到底应该怎么算呢？这就是我们今天要学的混合运算。为了弄清这个问题，我们先来看两个实际问题。
【思考】由于学生在此前的数学学习中，曾多次接触两步计算式题。这些两步式题大致可以分为两种类型，一种是只含同级运算的两步式题，另一种是含有两级运算的两步式题，如乘加、乘减，它们的运算顺序都是按照“从左往右的顺序依次计算”。借助已有的知识经验，部分学生觉得20+5×3从左往右计算等于75理所当然，另一部学生认为结果是35，认知冲突便产生了。俗话说“学起于思，思起于源”，在此设“疑”，使学生产生学习新知识的心理愿望，从而调动学生强烈的探索欲望。
片断二：顺应学生，突破思维定势
课件出示教材例1情境图
师：小军和小晴一起来到商店打算买一些学习用品。从图中你获得什么数学信息？
生：一个讲义夹7元……一盒水彩笔15元，一本笔记本5元，一盒钢笔40元。
师：小军买3本笔记本和1个书包，一共用去多少元？ 你能帮他算算吗？
学生独立思考，列式解答。
师：有人是这样做的 3x5=15（元），15+20=35（元），并板书。
师：还有人是这样列的3x5+20，并板书。
师：这两种方法你都能看懂吗？
生：第一种是先求出3本笔记本需要多少元，所以列示为3乘5等于15，再用3本笔记本的价钱加上1个书包的价钱就等于一共用去的价钱，所以列示为15加20等于35。
师：它是把3本笔记本的元数和1个书包的元数合起来。那再来看这道算式，它是怎么想的呢？
生：第二种是直接把3本笔记本的元数加上1个书包的元数就等于一共用去的元数。
师：不管是那样算的，还是这样算的，都是把3本笔记本的元数加上1个书包的元数就等于一共用去的元数。
板书：3本笔记本的元数＋1个书包的元数＝一共用去的元数
师：都是把3本笔记本的元数加上1个书包的元数来求一共用去的元数，那这两种列式有什么不一样呢？
生：一种是分步运算，一种是合在一起的。
师：像上面这样，列两道算式一步一步来求“一共用去多少元”叫做“分步算式”；像这样把两道算式连在一起合并成一道算式的叫做综合算式。
师：那像这样的综合算式怎么算呢？
随着学生的回答教师把运算过程的板贴贴在综合算式的后面。
师：我们原来的结果都是这样往后算的，但这样的话算式很长，为了看得更清楚，我们数学上还有另一种写法你们知道吗？
教师把后面的算式板贴往综合算式的下面移。
师：像这样的书写格式叫做递等式。
师：今天这个递等式和以前有什么不一样？
生：现在等号和得数都写在下面，以前得数都是写在后面。
【思考】学生初步学会列综合算式，并用递等式来表达综合算式运算的计算过程，是这节课的基本教学目标之一。教学时要具体指导学生规范地表达计算的过程与结果，但由于学生在这之前的学习中从来没有使用过这样的表达方式与书写格式，他们习惯于写在算式的后面。那么为何要使用递等式？如何使学生理解递等式？笔者示范把计算过程往后写，首先满足学生愿望，但是这样写算式会很长，不是很清楚，所以要改变，再告诉学生有新的书写格式，这样也是顺应学生学习的需要。接着示范把计算过程往下移，强调等号要在左端上下对齐，再让学生对比现在的递等式和原来的不同点，明白递等式是往下写，可以清楚地记录运算步骤和结果。通过这样类比交流不同点的过程，使得学生突破思维定势，并自主建构新知。
片断三：比较辨析，提高运算能力
1．结合实例，引领探究。
师：小晴买2盒水彩笔，付出50元，应找回多少元？
师：你能列出综合算式并用递等式计算吗？
学生独立列式。
分层次展示学生的列式。
对比交流第1个层次：
① 50-15×2 ② 15×2-50
师：你更赞同谁的？说说理由。
生：我更赞同①号，②号同学列的15乘2等于30，30怎么能减50呢？
师：哦！你是从这个角度来说明15×2-50的，除了这样想还有其他原因来解释它这个算式是错的吗？
生：因为要用付出的元数减去2盒水彩笔的元数才能得到找回的元数
总结：看来得想清楚数量关系式，付出的元数减去2盒水彩笔的元数就等于应找回的元数，所以15×2-50这样列式不对。
板书：付出的元数-2盒水彩笔的元数=应找回的元数
教师拿掉②作业，展示③号作业。
对比交流第2个层次：
① 50-15×2 ③ 50-15×2
=50-30 =35×2
=20 =70
师：这位同学也是用付出的元数减去两盒水彩笔的元数，为什么会结果不一样？
生：因为③号先算了50减15等于35，应该先算15乘2，求出2盒水彩笔的元数。
教师相机在先算的部分画上横线。
师：要先算乘，而他呢？这里不能从左往右算了，要先乘再减。
教师拿掉③号作业，展示④号作业。
对比交流第3个层次：
① 50-15×2 ④ 50-15×2
=50-30 =30-50
=20 =20
师: 他也先乘了，你有什么想说的呀？
师相机在先算的15乘2下面画横线。
生：他的结果是正确的，但是递等式第一个步骤错了，30不好减50。
师:我先算15×2等于30，为什么不能把30先写下来？
生：因为原来综合算式50就在前面的。
小结：：先算的还不一定先写下来呢，也就是30不能抢50的位置。
师：通过刚才的交流，现在谁能说说看用递等式计算时要提醒大家有什么要注意的？
生1:要先算乘，再算减。
生2:先算的不一定先写下来，30不能去抢50的位置。
2.返回冲突题，理解运算顺序。
课件出示：20+5×3
师：猜猜看这道算式可能是解决的刚刚哪个问题？
生：解决的是小军的问题，买3本笔记本和1个书包，一共用去多少元？
师：现在结合这题，这道算式到底应该先算什么?
生：应该先算乘法，求出 3本笔记本的价钱。
小结:我们的运算顺序在这里不能从左往右了，应该先乘再加。
……
3.比较分析，提升认识
课件展示今天的3道综合算式
师：学到现在，我们已经做了一道、两道、三道，做了这样的3道混合运算，观察这些混合运算，想一想，如果算式当中有乘法，有加法、减法，应该先算什么呢？
小结并板书：算式中有乘法和加、减法，应先算乘法。
【思考】理解并掌握两步混合运算的运算顺序是这节课的另一个重要知识点。运算顺序本质上是一种数学规定，而这种规定的合理性主要来自于运算自身的层级性特点。例如，由于乘法是几个相数相加的简便运算，所以在含有乘法和加法的算式中，自然应当先算乘法，这是一种避繁趋简的理性选择。但是对学生而言，上面的道理却显得非常抽象，因此相对而言较为现实的做法是引导学生结合相关实际问题中的事理和数量关系来感受。学生在解决小晴的问题时，计算3×5＋20这样的乘加不容易弄错运算顺序。通常的典型错误是在计算减乘或者加乘时，学生是由“从左往右算”的思维定势所产的负迁移。例如，计算50-15×2时，错误地先算出“50-15”的差，又如，计算20＋3×5时，错误地先算出“20＋3”的和。引导学生联系生活实际和数量关系并根据解决问题的思路，感受到在含有乘法和加、减法的算式中，先算乘法是合理的。除了运算顺序，另一种典型错误是书写格式上的错误，先算的抢了原先在前面的数位置，强调需要先算的和暂不参与运算的数在每一行算式中的位置。因此笔者利用生成资源，通过比较辨析，借助数量关系式，有助于使学生对运算顺序、书写格式达成共识，获得相关新知的全面认识，加深了数学知识的理解。
【参考文献】
[1]魏光明，姜华. “两步混合运算”教材解读与教学建议.小学数学教育，2018，1-2：58～60
[2]2011年，国家教育部《义务教育小学数学课程标准》