章友辉
仪陇县保平镇小学校,四川省 南充市637665
摘要：近几年一些省市的中考物理试题中，常常出现一类与“极值问题”有关的命题，这类题目从培养学生的思维能力、运用数学规律解决物理问题的能力来看立意是最好的，但若只用物理方法求解，往往会陷入困境，借助数学方法会化难为易。
关键词：数学规律 滑动变阻器 最大功率
2020年南充市中考物理试卷中有这样一道题目：如图甲所示，滑动变阻器的滑片从a端滑到b端的过过程中，电流表和电压表示数变化规律如图乙所示。则下列说法正确的是：
A．R0的阻值为10Ω B．滑动变阻器的最大阻值为60Ω
C．电源电压为8V D．滑片在滑动的过程中，滑动变阻器的最大功率为0.9W
由图甲可知，定值电阻R0与滑动变阻器串联，电压表测滑动变阻器两端电压，当滑片P在a端时，滑动变阻器没有连入电路，电压表示数为0V，由图乙知，此时电路中电流为Ia=0.6A，则有：
电源电压 U=IaR0 ……①
当滑片P在b端时，滑动变阻器全部连入电路，电压表示数最大，由图乙知，此时滑动变阻器两端电压为Ub=5V，电路中电流为Ib=0.1A，则有：
滑动变阻器的最大值
电源电压 U=IbR0+Ub ……②
联立①②式，代入数据解得：R0=10Ω，U=6V。故A正确，BC错误。
而D选项是求滑片在滑动的过程中，滑动变阻器的最大功率问题，仅利用物理知识是解决不了的，需要利用一些数学规律进行推理，借助数学知识求解物理问题中的极值。下面我将用二次函数来求滑动变阻器的最大功率。
滑动变阻器的功率为
当时，P滑有最大值，
，故D正确。
因此本题应选AD。
通过上面的分析，我们发现滑动变阻器消耗的电功率最大时，其接入电路的电阻并不是最大，而是等于与其串联定值电阻的阻值。因此可总结出以下规律：
1、当滑动变阻器的最大阻值大于与其串联定值电阻的阻值时，移动滑片，使滑动变阻器接入电路的阻值由小变大时，滑动变阻器消耗的电功率先变大再变小。即有如下关系：
若,当滑动变阻器接入电路中电阻为R滑=R0时，即滑动变阻器与定值电阻平分电压时，滑动变阻器消耗的电功率有最大值，即。
2、如果滑动变阻器的最大阻值小于与其串联定值电阻的阻值时，移动滑片，使滑动变阻器接入电路的阻值由小变大时，滑动变阻器消耗的电功率也会逐渐变大，直到滑动变阻器全部连入电路时变成最大，即有以下关系：
若R滑〈R0时，。
下面我们通过一道中考试题加强对上述规律的运用。
（2011年南充）现有一个电源电压为10V的电源和一个“12V，12W”的灯泡，灯泡的电流随电压变化关系图像如图所示。
（1）把电源和灯泡构成一个闭合电路，求灯泡的电功率；
（2）若在（1）问的电路中再串联一个规格为“20Ω”的滑动变阻器和量程为0 -0.6A的电流表，求滑动变阻器接入电路电阻的最小值；
（3）若把该电源和一个定值电阻R0=10Ω以及上述滑动变阻器构成串联电路，求滑动变阻器R电功率的最大值。
分析：（1）当把电源和灯泡构成闭合电路时，
灯泡两端的电压UL=U=10V，
由图像可知灯泡中的电流IL=0.9A，
则灯泡的电功率P=ULIL=10V×0.9A=9W；
（2）为保证电路中的电流不超过电流表的量程，电路中的最大电流为0.6A，
由图像可知，此时灯泡两端的电压UL′=4V，
则滑动变阻器两端的电压U′=U-UL′=10V-4V=6V，
故滑动变阻器接入电路电阻的最小值：；
（3）滑动变阻器的电功率
由二次函数的顶点坐标可知，当I=0.5A，即R滑=10Ω时，电功率P取最大值，其最大值Pm=2.5W．
解题时首先对研究对象及物理过程进行简化和抽象，形成理想化物理模型，然后对应物理规律列出方程，再把物理关系转化为数学关系，最后把经过数学处理后的结果转化为物理结果。当然求极值的方法还有很多，如利用根的判别式、均值不等式等等，本文将详述，大家可自己去探究。