廖培章
广东省梅州市五华县水寨中学 514400
摘要：不等式问题的证明方法灵活多样，技巧性强，综合性较高，除了常见的比较法、分析法、综合法、反证法、几何法、放缩法外，还可以利用构造函数法，通过函数的单调性来证明不等式，从而使证明过程更加简捷。
关键词：例谈构造函数法；不等式证明；应用
引言
现行高中数学教材中，导数已成为研究函数性质的一种重要工具。在新课程背景下，不等式的证明已大幅度降低要求，但是不等式证明中蕴含着丰富的数学思想与数学方法，各类考试特别是高考压轴题位置依然会出现不等式证明问题。只是用纯不等式的方法解决不等式证明已不多见，一般情况都需要利用转化与化归思想，转化为函数，进而通过求导，进一步转化为函数的单调性、极值、最值来解决。在解决这类问题时，往往需要先构造函数，因而，函数的变化与构造成为分析与思考此类问题的难点。
1寻找待证不等式的等价不等式构造函数
找到待证不等式的等价不等式,观察等价不等式的结构,构造函数。
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评注该问题的证明方法很多,此证法是通过构造函数f(x)=3x?x?1来证明不等式,可以说是很多证法中较为简单的一种证法。
2分离变量,构造函数
例2已知函数f(x)=xlnx,g(x)=?x2+ax?3.对一切的x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围。
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4先放缩后构造函数
先放缩后构造函数即对待证不等式中较为复杂的某一部分做放缩处理,使其变得较为简单,然后再构造相关的函数进行解题。
例4(2013年高考全国新课标II卷理科第21题)已知函数f(x)=ex?ln(x+m)。
(I)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;
(II)当m62时,证明f(x)>0。
解(I)解略.m=1,f(x)在[?1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.
(II)f(x)的定义域为x>?m,当m62时,0<x+m6x+2?ln(x+m)6ln(x+2)
??ln(x+m)>?ln(x+2)
?ex?ln(x+m)>ex?ln(x+2).
设g(x)=ex?ln(x+2),则
，
因为g′(x)在(?2,+∞)上单调递增,又g′(?1)<0,g′(0)>0,所以g′(x)=0在(?2,+∞)上有唯一实根x0,如图1(函数g′(x)的模拟图象),且x0∈(?1,0).所以当x∈(?2,x0)时,g′(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,g′(x)>0.所以g(x)在(?2,x0]上单调递减,在[x0,+∞)上单调递增,如图2(函数g(x)的模拟图象),所以g(x)>g(x0)=ex0?ln(x0+2),又
所以g(x)>0,所以ex?ln(x+m)>ex?ln(x+2)>0,综上,当m62时,f(x)>0。
5构造“原函数”
例5(2015高考福建,理10)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=?1,其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是（）
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评注这些类型题目的特点是条件中有f′(x)这样的式子。本题通过条件中f′(x)>k>1,构造出原函数g(x)=f(x)?kx和h(x)=f(x)?x,从而h(x),g(x)单调增,再分析得解.构造函数的思维采取了逆推,利用导数形式构造出原函数。
变式练习设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(?1)=0,当x>0时,xf′(x)?f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()
结语
在证明不等式时，通常需要根据不等式的特点，进行构造函数，用导数研究函数的性质，从而达到证明不等式的目的，即把证明不等式转化为用导数解决的函数问题。此类问题变化多、思路多、方法多，但是核心问题点在于构造函数，具有一定的创造性和隐蔽性，需要熟悉常见构造策略，具体解决时，需要通过对题目中条件的转化、变量的增减、结构的改造进行多方位的分析与思考。
参考文献
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