沈大桩
浙江省杭州市萧山区所前镇初级中学 311254
摘要：数形结合向来是数学解题过程中的一把利器，教师若能在课堂上有意识的把这种运用代数的数量关系去处理几何图形的问题，运用图形的性质去解决代数问题的数学思想不断的进行渗透，学生在解题时就可以做到事半功。本文仅围绕利用“数轴”这个“形”去求不等式（组）中“字母系数”这个“数”的取值范围展开讨论。
关键词：数形结合 数轴 不等式
问题提出：
虽说数形结合是一种重要的数学思想，但是在实际的课堂教学中，教师通常容易忽视这一思想，一方面，认为对于初中生来说难以理解和领悟，另一方面，认为在课堂教学中用数形结合思想进行教学过于花时间。所以，在整个课堂教学中，对数形结合这一数学思想渗透严重不足，导致学生自己解题时，会花费更多的时间去解决那些非常抽象的数学问题。例如：在某一堂校级公开课中，上课教师给出这样如下问题：
若不等式组 的解为 ，则下列各式 正确的是（ ）
教师分析的依据来自于浙教版数学八年级（上）“合作学习”中得到的一个结论：“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解”所以，根据“大大取大“可知 ，然后再来考虑 是否成立？谓之，特殊情况特殊处理。老师在与学生的互动中，的确把此题分析的非常透彻，但是在接下来学生的练习中，笔者发现，学生做此类问题时，错误率还是比较高的。所以，课后本人一直在思考，是否有办法把此类比较抽象的问题的解决过程更加直观的展示给学生。鉴于不等式（组）的解可以在数轴上表示出来，所以笔者在自己的课堂上尝试了利用数轴来求不等式（组）中字母系数的取值范围。
问题解决：
我们在求不等式（组）中字母系数的取值范围时，通常会碰到以下四大类问题。
一、类型Ⅰ：已知有解（或无解）的问题
此类问题如果把不等式组的两个不等式的解表示在数轴上是有公共部分（或没有公共部分）的，利用这一点就可以求出字母系数的取值范围。
下面是课堂教学中的一个片段：
师：哪个不等式可以在数轴上表示出来？
生：
师：为什么不是
？
生：因为不知道数轴上表示数a的点在哪个位置。
师：你认为表示数a的点可以在什么位置？
生：可以在表示3的点的左侧，也可以在表示3的点右侧，还可以和表示3的点重合（特殊情况）。
师：那么，请你分别把这三种情形在同一数轴上把
表示出来，结合无解的条件，你能得到什么结论？
最后，通过师生的共同讨论得到下列三个结论：①当表示数a的点在表示3的点的左侧时，发现没有公共部分，所以满足无解的条件。②当表示数a的点在表示3的点的右侧时，发现有公共部分，所以不满足无解的条件。③当表示数a的点和表示3的点的重合时，我们发现没有公共部分，所以满足无解的条件。综上所述：
通过这样的师生互动，学生利用数轴，把三种情形分别在数轴上表示出来，就能非常直观的看到不等式组是否有无解，这就是数形结合的妙处所在。
二、类型Ⅱ：给定不等式组的解的问题
通过类型Ⅰ这样的师生互动，学生就可以，按部就班的对表示数a的点在数轴上的位置进行讨论，求出字母系数的取值范围。
本题求解，是利用小组合作的形式展开的，通过5分钟的小组讨论，最终各个小组都能得到如下的结论：①当表示数a的点在表示3的点的左侧时，满足题目的条件。②当表示数a的点在表示3的点的右侧时，不满足题目的条件。③当表示数a的点和表示3的点的重合时，满足题目的条件。综上所述：
学生通过小组合作讨论的形式，对利用数轴求不等式（组）中字母系数的取值范围有了更直观的认识。
三、类型Ⅲ：一个不等式的解包含在另一个不等式的解内的问题
这类问题，可以转化为类型Ⅱ给定不等式组的解的问题，把两个不等式写在一起，组成一个一元一次不等式组，求出两个不等式的解，再把题目进行适当变形，就变成了给定不等式组的解的问题。
下面是课堂教学中师生互动的一个片段：
师：题中两个不等式的解分别是什么？
师：那么，此题是否可以转化成：如果不等式组
的解是
，求a的取值范围？
生：可以。
通过上面这个片段中的师生互动，把包含问题转化成给定不等式组的解的问题，学生就可以利用数轴对此问题进行如下分析，求出字母系数的取值范围。 ①当表示数a的点在表示3的点的时，不满足题目的条件。②当表示数a的点在表示3的点的右侧时，满足题目的条件。③当表示数a的点和表示3的点的重合时，
重合 ，满足题目的条件。综上所述
此类问题重在转化，利用“包含”两字就可以得知哪个不等式的解才是转化后不等式组的解。
四、类型Ⅳ：给定不等式整数解个数问题
最后一类问题，有别与前面三类问题，它是在给出x的某一个范围（类似一个不等式组的解）前提下，给定整数解的个数，求字母系数的取值范围。
下面是课堂教学片段：
师：把
表示在数轴上之后，观察数轴，题中的3个整数解，你认为是什么？
生：0、1、2
师：表示数a的点应该在数轴上的哪些位置。（给予一定是思考时间）
师：相对于表示数2的点，表示数a的点应该在哪里？
生：在表示数2的点的右侧。
师：相对于表示数3的点，表示数a的点应该在哪里？
生：在表示数3的点的左侧。
师：那么，表示数a的点是否能与表示数2的点和表示数3的点重合？为什么？（给予一定是思考时间）
生：可以与表示数2的点重合。理由是a在题目条件的范围内，但不可以与表示数3的点重合，理由是，如果与表示数3的点重合，这题目条件的范围内就有4个整数解。
师：所以，数轴上表示数a的点在表示数2的点及其它的右侧，且在表示数3的点左侧，那么本题的答案是什么？
生：
此题的数形结合过程，主要体现在两个方面，一方面是利用数轴大致确定表示数a的点在哪两个整数之间，另一方面是判断表示数a的点能否与表示这两个整数的点重合。
反思：
华罗庚老师说过：“数形结合千般好，数形分离万事休。”数形结合这一数学思想对培养、发展学生的数感和空间观念等方面有很大的作用，学生利用数形结合思想去解决数学问题，可以使问题简单化、直观化。数形结合思想是一种贯穿整个数学学习的重要思想，如果能在解题过程中渗透这一思想可以使得问题得到更好的解决。教师在解题教学时要预设好如何渗透这一思想，本人认为可以先用传统的解题方法进行解答，然后引导学生采用数形结合思想思考这一问题。最后将这两种方法进行比较，分析两种解题方法的本质的一致性，再结合两者的简易程度和可操作性，来帮助学生养成利用数形结合解决问题的能力。文章开头提到的问题，由于两个不等式中都有字母系数，难度系数要略高于本文四个类型中的范例，但是，课堂上如果老师能够再尝试利用数轴，站在数形结合的角度去进行如下互动：
师：先在数轴上找一个点表示数-a，然后表示出
。
师：你认为表示数-b的点可以在什么位置？
生：可以在表示-a的点的左边侧，也可以在表示-a的点右侧，还可以和表示-a的点重合（特殊情况）。
师：那么，请你分别把这三种情形在同一数轴上把
表示出来，结合问题的条件，你能得到什么结论？
通过这样的一个数形结合在解题教学中的渗透互动，学生可以很容易的得到问题的答案。在最后的解题小结中，教师可以就本题的两种解法作对比，向学生展示数形结合的直观性和可操作性，我想学生应该可以对这类问题得到更加直观、形象的认识。
参考文献：
[1]《八年级上册数学》， 浙江教育出版社，2104年版。
[2]《数形结合在初中数学中的应用》，百度文库。
[3]《初中数学新课程标准》。
[4]《导学新作业》（数学），浙江教育出版社，2012版。