王治国
摘要：在众多数学思想方法中，数形结合思想的重要性不言而喻，其主要是依据“形”与“数”的对应关系，将相对抽象的数学关系、语言联合易于理解且直观位置关系与几何图形，最终达到“以数解形”的目标，可以让抽象问题变得具体化。在高中数学教学过程中有效应用数形结合思想，针对学生理解与解决数学问题起到关键作用。基于此，文章将着眼数形结合思想，简要分析其在高中数学课堂中的有关应用路径。
关键词：高中数学；数形结合；应用路径
引言：对于高中数学教学与学习而言，数形结合思想的有效应用能帮助数学教师与学生尽快找到简捷有效的解题路径，防止过于复杂的计算与推理，实现数学灵活性与规律性相结合，让解题过程进一步简化，节省一定的解题时间。相比其他解题思路，数形结合思想体现着明显优越性，对此高中学生扎实掌握并灵活运用该思想方法尤为重要。
一、运用数形结合思想的重要性
第一，利于所学知识的掌握理解。通常在课堂教学中教师主要传授基础性理论知识，学生应针对知识形成一个准确记忆，进而为灵活使用奠定基础。在所有教学过程中两者是相互联系的。教师依据形象记忆，通过几何语言将抽象性数学知识表达出来，在学生脑海中建立相应的数学模型加深对输入信息地理解，帮助学生理解与记忆数学知识[1]。以函数有关知识点学习为例，通过直观的函数图形能强化学生的知识记忆，例如函数值域、定义域、奇偶性等。
第二，利于完整数学概念的构建。从某种角度来讲，数学概念属于数学逻辑起点，不仅是学生认知构成的基础更是对数学思维培养的核心内容，是思维中最活跃的。现下教材中的数学概念均体现着一定的浓缩性，是感性朝着理性认识的飞跃。很多内容是以文字基础获得的结论，省略了之前进行逻辑加工的细节[2]。也正是由于这样的抽象性，学生往往在学习数学时会觉得相对乏味枯燥。可实际上数学当中的每个概念，均对应的一个相对原始的直观模型。在课堂教学过程中，教师应正确引导学生由感性认识逐渐提升至理性认识，针对概念形成一个相对完整与系统的理解。应用数形结合的方法，则是通过两种形式对概念当中的“数形”特点进行表述，且揭示知识实质，确保学生不是单纯在表面上进行理解，而且把握深层本质。
第三，利于数学思维的发展。针对人的思维进行划分，可分为以下三种：抽象思维、形象思维以及直觉思维。文章认为，可将形象思维作为思维科学的切入点，这主要是由于，在明晰形象思维之后，就能够挖掘出前科学的部分。在一定程度上有助于智力开发。在具体交往时主要以形象思维为基础。由此看出，高中阶段应提高对培养学生形象思维的重要，在高中数学教学中应平衡好形象思维与抽象思维。针对一个思维活动来讲，这两种思维可以同时存在，并且两者可以进行互译或是切换。唯有将两者活动协调好，才可以实现高级思维过程。我们应清楚二者起点均是感性认知，而且具有一致的最终归宿即反映客观事物。基于现实生活联系与规律视角，其差别主要体现在认识事物的方式。针对认知方式，绝大多数学生习惯开始于形象思维开结束在抽象思维。有关数形结合思维，在剖析问题时所围绕的角度分别是“形”和“数”。用时，图像和函数、方程和曲线均包含着数形结合思想。从图像特点分析代数性质，则需依托形象思维。此外，要是把代数问题转变为几何问题，应综合应用创造性与形象思维，由此也深刻体现着“数形结合”思想方法。因此，在高中数学课堂需关注数形结合思想方法，一方面学生解决实际问题的重要工具，另一方面可以帮助学生形成有关数学问题本质的认识，在对思维形象培养的基础上，助力形成创造性思维。
二、简析数形结合思想的具体应用路径
（一）函数问题
已知方程为｜|=，分析k取不同值时该方程不同解的个数情况。
解析：该问题可以转变为确定函数和图像之间交点的个数问题，由于函数表示和x轴平行的所有直线，那么通过绘制的函数图像（如图1所示）就能够直观看到：
（1）当时，函数y1和函数y2没有交点，原方程没有解。
（2）当时，函数y1和函数y2存在两个交点，此时原方程具有不同的两个解。
（3）当时，函数y1和函数y2存在四个不同的交点，那么原方程有四个不同解。
（4）当时，函数y1和函数y2存在三个交点，解的个数为三个。
（5）当时，函数y1和函数y2存在两个交点，解的个数为两个。
图1：函数图像
（二）三角函数
求函数的值域。
解析：可以将原函数改写为，这样就可以将y视为点A（）和动点连线的斜率，那么则可以设，则由可得，（如图2所示）动点B可看成一个单位圆，则y表示圆上任意一点B连接定点A的直线l的斜率。由此可设直线l的方程为，即。单位圆的圆心至直线l之间距离相小于等于半径得出，求出的k值就是函数的值域。
图2：图像
但需要注意的是，关于三角函数问题在运用数形结合思想求解时，需要清楚动点（），（）均表示圆，看到分式应联系斜率，看到平方和式应联系距离。
（三）圆锥曲线
已知椭圆方程是，称圆心位于坐标原点O，半径是的圆是椭圆的“伴随圆”，其中椭圆短轴长度是2，离心率是。
试求椭圆以及“伴随圆”的方程。
解析：有题可得，可得，因此椭圆方程应是；=2，所以“伴随圆”的方程为。
如果直线l和椭圆相交在点A、B两点和“伴随圆”相交在点C、D，如果=，试求的最大面积。
解析：如下图所示。
图3：示意图
过点做直线的垂线，E为垂足，通过圆的性质得出，与图形相结合唯有当直线l平行于x轴时，才能达到面积最大。在直线l平行于x轴时，点的纵坐标是，面积最大值。
三、提高数形结合思想应用水平相关建议
第一，数学教师应进一步更新自身教育理念。利用有效时间阅读和数形结合思想相关的专著书籍，针对该思想形成一个系统认识；积极参加讲座与论坛等相关学术研讨活动，学习与掌握最新的数形结合思想成果，在实际参与过程中，有效将数形结合思想和自身教育理念、认知结构相融合。与此同时，有关教材当中关于数形结合思想的渗透内容应做到胸有成竹，从而解决何时渗透、怎样渗透等问题。
第二，融合多元教学方法运用数形结合思想。数学教师在实际课堂教学中可以采用多种教学方法，比如常见的情境法、讲授法、讨论法或者是演示法等[3]。现阶段，高中阶段数学课堂中应用最广泛的就是演示法与讲授法，上述方法均能够通过数形结合思想的直观应用进行数学知识的讲解。从实际情况来看，在数学教学中运用多种教学方法，将数相结合思想“润物无声”地渗透，让其进一步形成学生的惯性思维，帮助学生更好地学习数学知识。
结束语：将数形结合思想有效应用在高中数学教学中，在完善与丰富数学解题理论的同时，助力学生扎实掌握数学知识。数形结合思想还能构建新概念、引入新知识，在解决实际问题中通过数与形之间的互补调动学生的数学学习兴趣，从而为学生学习与未来工作奠定牢固基础。
参考文献：
[1]杨德源.高中数学教学中数形结合思想的应用现状及策略研究[J].中国农村教育，2019(33):107-108.
[2]陆一冰.试论数形结合思想在高中数学解题中的应用[J].中国培训，2016(22):204.
[3]许昶昊.浅析数形结合思想在高中数学解题中的应用[J].科技风，2017(04):29.