郑学平
北京市第十一中学分校，北京 100050
提要：数形结合的思想是研究数学的一种重要的思想方法。本文论述了利用函数求不等式的解集的问题，结合一节初三数学常态课实例进行阐述，抓住所解不等式的结构特征,适当构造函数,并利用现代信息技术在课堂上借助软件快速的绘制函数图象，利用函数的图象和性质解不等式，往往会优化解题过程,甚至出奇制胜,给人耳目一新的感觉。
关键词：数形结合；函数；不等式
一、数形结合的内涵
“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，数形结合的思想，就是研究数学的一种重要的思想方法。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形之间的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。把握、运用好数形结合，能激发学生兴趣，促进学生情感、态度、价值观的发展，提高课堂教学效果，有利于数学知识的应用与推广。
二、数形结合，求不等式的解集
不等式知识是初中数学中的一个重要知识，也是人们解决生产生活问题的一个有力工具，因此怎样解不等式就成为问题解决的关键。初三的学生已经学习了函数、方程、不等式的有关内容，但是所学知识就像一盘散沙，学生并不清楚前后知识之间的内在联系。遇到解不等式的问题，学生也更容易想到用代数的方法解决问题，一元一次不等式很容易求解，但对于解分式不等式和一元二次不等式等问题，用代数方法来解，必须进行分类讨论，而分类讨论思想对学生来说本身就是一个难点，在分类中学生很容易漏解或者考虑不全面，而借助函数图象，学生就能直观地得到不等式的解集。如何更好地帮助学生掌握函数、方程、不等式之间的内在联系一直是笔者想要解决的问题。
(一)数形结合,求一元一次不等式的解集
例1：解不等式
课堂上所有的学生都是利用不等式的性质直接求不等式的解集。笔者开始上课时并没有急于让学生尝试用一次函数图象来求不等式的解集，而是在后面求分式不等式的解集，学生出现困难的时候，返回例1引导学生利用一次函数图象求不等式的解集。一元一次不等式用代数方法求解的确更简单，但我们的目的在于通过简单的、学生熟知的知识介绍新的方法，用新的方法解决棘手的问题。
知识储备:
1.一个函数值的正负
设一次函数为，其图象与轴交于.
(1)若。
当时，函数图象对应的部分在轴下方，所以函数值，因此不等式的解集是；
当时，函数图象对应的部分在轴上方，所以函数值，因此不等式的解集是。
(2)若。
当时，函数图象对应的部分在轴上方，所以函数值，因此不等式的解集是；
当时，函数图象对应的部分在轴下方，所以函数值，因此不等式的解集是。
因此，本题可以将不等式转化为，构造一次函数,其图象与轴交于,当时，函数图象对应的部分在轴上方，所以函数值，因此不等式的解集是；即不等式的解集是。
2.比较两个函数值的大小
如图1，设两个一次函数分别为，，两个函数图象交于。
图1 函数图
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当时，函数的图象对应的部分函数在的图象对应的部分的上方，所以，因此不等式的解集是；
当时，函数的图象对应的部分函数在的图象对应的部分的下方，所以，因此不等式的解集是。
因此，本题可以构造一次函数,两个函数图象，交点是，当时，的图象对应的部分函数在的图象对应的部分的上方，所以，因此不等式的解集是。
(二)数形结合，求分式不等式的解集
例2：解不等式
用代数方法来解这个不等式必须进行分类讨论，当时，不等式等价于所以，当时，不等式等价于所以,综上所述，不等式的解集为或。分类讨论思想对学生来说本身就是一个难点，在分类中学生很容易漏解或者考虑不全面。这时适时引导学生借助函数图象来求不等式的解集，用“形”来解决“数”的问题，这样学生就能直观地得到正确答案。这道例题在本节课中起到承上启下的作用，通过与代数方法比较，由“形”可以更直观地得到不等式的解集，凸显了“形”的优越性。
本题可以根据不等式特征构造反比例函数；并在平面直角坐标系中画出二次函数的图象。当时，求得方程的解为，并用笔标示出函数图象中的部分。由所标示图象，可得不等式的解集为。
(三)数形结合在一元二次不等式中的应用
例3：求不等式的解集
通过前面的学习，学生已经形成了用“形”来解决“数”的问题的表象，自然就会想到可以借助函数图象来解决一元二次不等式的问题，利用二次函数图象来求一元二次不等式的解集。这也是这节课的高级阶段——知识应用阶段，课上笔者采用小组讨论的形式，让学生们探究解题方法、总结解题步骤。探究成果如下：
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数并在平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
②求得界点，标示所需：当时，求得方程的解为，；并用笔标示出函数图象中的部分。
③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式的解集为或
学生们通过激烈的小组讨论，总结出很多构造函数的方法，这里就不一一赘述了。
教学中，当学生小组讨论总结出很多的解题方法后，一定要引导学生多解归一，总结解题方法和技巧，明确做题步骤。①构造函数，画出图象②求得界点，标示所需③借助图象，写出解集。
三、结语
从以上数例可以看出，利用函数图象解决与不等式有关的问题关键是抓住所解不等式的结构特征,适当构造函数,观察图象，巧用图象法求不等式的解集，往往会优化解题过程,“数”的问题，由“形”得到解决，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的解决方案，大大提高了求解不等式问题的效率，甚至出奇制胜,给人耳目一新的感觉。
参考文献：
[1]罗增儒.中学数学解题的理论与实践[M].南宁：广西教育出版社，2008.