程辉强
福建省泉州市晋江市英林中学362256
摘要：圆的定义和性质的学习是高中几何数学学习的基础，也是进一步研究空间问题的前提，圆的方程属于解析几何中的基础，所以，掌握圆的标准方程，会判断二元二次方程表示圆的条件及用一般式求圆的方程，了解二元二次方程，圆的标准式方程，圆的一般式方程三者之间的关系，在高中几何数学学习中至关重要。
关键词：高中数学；解题方法；圆的标准方程
圆与直线结合考察的形式有很多种，最常见的问题就是判断圆与直线的位置，解决这类问题的方法最主要的就是代数法和几何法。若已知直线方程和圆的方程，可以使用代数法，将直线方程代入圆的方程，消去y得关于x的一元二次方程，当△<0时，直线与圆相离；当△=0时，直线与圆相切；当△>0时，直线与圆相交。若可以计算出直线到圆心的距离，可使用几何法，求出圆心到直线的距离d，若半径为r：d>r，则直线与圆相离；d=r，则直线与圆相切；d<r，则直线与圆相交。
例1：求满足经过点P(4，4)，圆心为点C(2，2)的圆的标准方程，并且判断该圆与直线y=2x+1的关系?
分析：通过已知条件，求圆的方程，可以先圆心连接圆上的点，求出该圆的半径，根据以C（a，b）为圆心，为半径长的圆的标准方程式为：(x-a)2+(y-b)2=r2这个格式，把半径和圆点带进式子就是圆的标准方程式。已知直线的方程为：y=2x+1，可使用几何法，求出圆心到直线的距离d，然后比较d与r的大小，求出圆与直线的关系。
解析：该圆经过点P(4，4)，圆心为点C(2，2)，圆心连接圆上的点则为圆的半径长r。
∵圆的半径长r=ICPI=2
由题可知：圆心为点C(2，2)
∴圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=4
图2
由题可知：直线y=2x+1，圆的圆心为点C(2，2)
可求得圆心到直线的距离d=3√5/5＜2
∴直线y=2x+1与圆(x-2)2+(y-2)2=4相交。
确定圆方程的方法多种多样，主要方法就是待定系数法，如果选择标准式，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a、b）和半径r。另外，在求圆的标准方程时，利用圆的几何性质可以使得计算更加简洁、明了，一般圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在圆的任意一条弦的中垂线上；两个圆内切或者外切时，切点与两个圆的圆心在一条直线上。圆的一般方程式适用于，圆心位置不确定时，主要采用待定系数法，设圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆的一般方程式包含三个独立的参数，因此，必须具备三个及三个以上独立的条件才能确定圆的一般方程，解方程组。
例2：求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5,2)和(3,-2)的圆的方程。
分析：已知该圆的圆心在直线2x-y-3=0上，且该圆过点(5,2)和(3,-2)，可通过设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，把圆心(a,b)，带入直线，把点(5,2)和(3,-2)带入圆的方程，可求得该圆的方程式。或者，连接点(5,2)和(3,-2)，得到一条直线，做该直线的垂直平分线，交直线2x-y-3=0于一点，即为圆心的坐标，然后求得该垂直平分线的方程式，通过两点间的距离公式可求得该圆的半径长r，已知该圆的半径长r以及圆心的坐标，即可求得该圆的方程。
解析：
∵点(5,2)和(3,-2)在圆上
∴连接点(5,2)和(3,-2)得到一条直线，做该直线的垂直平分线，交直线2x-y-3=0于一点，即为圆心的坐标(2,1)
通过计算可求得该垂直平分线的方程为x+2y-4=0
通过两点间的距离公式可求得该圆的半径长为√10
∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10
综上所述，计算圆的标准方程有多种方式，最常见的两种方式是：⑴求得圆的半径和圆心，带入圆的方程公式：(x-a)2+(y-b)2=r2，求得圆的标准方程。⑵已知圆上的两个点或者三个点的坐标，可设圆的一般方程，最后通过转化，变成圆的标准方程式。因此，求圆的方程时，首先应依题意恰当地选择所求圆的方程的形式，然后充分利用几何性质解题。注意，在做几何题时，可以更多的使用画图法，把文字描述转化成图的形式，以更加直观的形式呈现已知条件。在求圆的标准方程式时，最常见的呈现方式就是与直线相结合，所以要很好的掌握一元一次方程和二元一次方程的求解方法，为几何计算打好基础。
参考文献：
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