沈再琳
云南省宣威市第八中学 655404
摘要：随着我国教育改革工作的落实与推进，数学知识涉及更加广泛、难度也逐渐增加，而数列可以说是数学教学中的核心内容之一，并且从数列出发实现递推数列的通项知识内容的掌握更具困难，这是因为递推数列通项公式存在灵活多变、技巧性较强的特征，同时在具体运用中还将考察学生的推理逻辑与知识转化能力。继而本文针对当前数学教学中常见的递推数列通项公式的求法进行简要分析。
关键词：常见；递推数列；通项公式；求法
引言：当进行数列{an}的研究时，如若发现当中的任何一项an与其前或后一项、多项之间的关系能采用具体的公式进行表达，这时得出的公式被成为做数列的递推公式。利用递推公式所得到的数列则是递推数列，数列的递推关系在实际研究中起到关键性作用，也是当前我国高中数学考试的重点考察内容，这是因为递推数列公式本身存在多样性与多变性，在解题过程中学生能在理解数列难题的基础上，锻炼自身的逻辑思维能力，这一点也是我国为什么将递推数列通项公式作为核心教学内容的因素之一。
一、公式法
公式法主要是利用an与sn的关系an={s1 (n=1) Sn- Sn-1 (n≥2)，又或者在计算中利用等差、等比数列的通项公式。比如：{an}的前项和Sn2-1，求通项an。解：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2n2-1）-[2(n-1)2-1]=4n-2，当n=1时，a1=1不满足上述公式，所以an={1 （n=1） 4n-2(n≥2，n∈N*，需要注重注意的是n=1的形况。除了以上的公式之外，在部分题目之中首先会告诉你数列的前n项和公式，在此基础上为求得通项公式的方式如下：an={S1 (n=1) Sn-Sn-1 (n≥2)，在运用此方式之前需要注意的是n=1与n≥2两种状况该如何进行有效的区分与运算，之后再利用验证手段进行是否统一的检验[1]。比如：已经得知下列两数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式。（1）Sn=n2-1；（2）Sn=2n2-3n。解：（1）a1=s1=-1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5，由于a1也适合于此等式，∴ an=4n-5。（2）a1=Sn-Sn-1=(n2-1)-[(n-1)2-1]=2n-1，由于a1不适合此等式，∴ an={0 （n=1） 2n-1 (n≥2) 。
二、累加法
累加法再采用中涉及的递推公式形如an+1=an+f(n)型的数列，例如：已知{an}中，an+1=an+n(n∈N*)，a1=1，求通项an。解：由an+1=an+n(n∈N*) 得 an+1-an=n(n∈N*)，再由a1=1；a2-a1=1；a3-a2=2；a4-a3=3.........an-an-1=n-1这n个等式相加得an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+...+(a2-a1)+a1=(n-1)+（n-2）+......
又例如：已知{an}得首项a1=1，an+1=an+2n(n∈N*)，求通项公式。解：an-an-1=2（n-1），an-1=an-2=2(n-2)，an-2-an-3=2(n-3).......，a3-a2=2x2+a2-a1=2x1，an-a1=2[1+2+.....+(n-1)]=n2-n，∴ an=n2-n-1。而在一阶线性递推数列中，对于累加法的应用，需要保证k=1，an+1-an=f(n)，如若f(n)可求和，便能采取累加消项的方式，主要是利用此将原递推公式转化为an+1-an=f(n)，从而利用累加法中的逐差相加法进行求解[2]。例如：
三、待定系数法
满足a1=3，an+1=2an+1求通项公式。解：设an+1+m=2(an+m)；an+1=2an+m；∴ m=1
∴ {an+1+1}是以4为首项，2为公比为等比数列，∴ an+1=4?2n-1，∴ an=2n+1-1。此外，在一阶线性递推数列中也可以运用待定系数法进行问题的解决，即an+1=kan+f(n)，其中当k≠1时，f(n)=an+b则可以设为an+1+A(n+1)+B=k(an+An+B)∴ an+1=kan+(k-1)An+(k-1)B-A；∴ {（k-1）A=a (k-1）B-A=b，通过解得：A=+ ∴ {an+An+B}是以a1+A+B为首项，k为公比得等比数列，∴ an+An+b=(a1+A+B)?kn-1，∴ an=(a1+A+B)?kn-1-An-B，将A、B带入其中便可[3]。例如：已知a1=1，n≥2时，
四、结束语
经过上述常见递推数列通项公式的求法分析，可以得知在教师教导学生对递推数列通项公式进行运用时，首先要学会的便是如何将复杂的递推关系简单化，并且在此基础上将其转化为等差等比数列的递推关系，这样能实现复杂的问题简单化，还能帮助我们创造解决问题的基础条件。
参考文献：
[1]王云冰. 常见递推数列类型及其通项公式的求法[J]. 数学教育研究, 2010(4):59-60.
[2]李东月. 例析高考递推数列通项公式的常见类型及其求法[J]. 数学教学研究, 2011(04).
[3]邓世江. 递推数列通项公式的常用求解方法[J]. 中学教学参考, 2012, 000(023):32-33.