王居禄
福建省霞浦县柏洋中心小学
在小学数学几何形体知识的教学中，如何使儿童建立清晰、准确、完整的空间观念,是小学数学教学的一个重要课题。几年来,我在教学实践中,注意按儿童的年龄特征,把几何形体的知识结构和儿童的认识规律有机地结合起来,把发展学生的思维、培养能力贯穿在教学的始末,取得了显著的成效。
一、初步感知,建立印象,辨认各种图形。
知觉是对直接作用于感觉器官的事物的整体反映,我们不仅直接感知当前作用于感官的事物,而且能把这些事物印在头脑中,当事物再度出现时,就能认出它。学生从一年级开始认识常见的长方形、正方形、三角形、圆形以及长方体、正方体、圆柱体、球体等几何形体。通过看一看、摸一摸、数一数、摆一摆的办法,让学生从整体上建立印象。如教学认识长、正方形时,我让学生拿出自制的学具,观察它们的形状,用手摸一摸它们的面,数一数各有几条边?折一折、比一比,发现它们的边有什么特点?学生年龄小,在指导他们摸、数、折、比时,我注意按照指定的顺序,从局部接触到留有完整的印象。学生对长、正方形的认识是:它们的面是平的,都有4条边,长方形有两条长边,两条短边,对着的边相等,正方形四条边相等。在学习三角形有三条边后,我问学生:用6根小棒摆一个三角形,怎样摆?用一张纸折两个三角形,怎样折?从大三角形里剪三个三角形和一个长方形,怎样剪?用手摸一摸圆片、球、圆柱,发现有什么不同?用12个正方体摆长方体,有几种排法?用三角形、圆形、长方形、正方形摆组合图形,看看摆出的图形象什么?通过这些简单的活动的安排,正好适应儿童好动、喜悦娱乐的年龄特征,学生不仅乐意学习,兴趣盎然,而且使他们的形象思维能力在动手活动中得到了锻炼和培养。如学生摆出组合图形后,我先问他们象什么?有的说他摆的象船、有的说象鱼、还有的说象房子、汽车、火车、飞机、滑梯、熊猫等。接着我又反过来要学生看看并说说自己所摆的组合图形是由哪些图形组成的。这样一正一反，从形象到抽象,使学生把各种平面图形的样子留在了脑子里。又如学生二年级初步认识直线、线段、角时,我让他们从家里带来一条细绳,开始把绳子提起来,发现绳子是弯弯曲曲的,然后两手把绳子拉紧,发现绳子很直很直,画在黑板上,就是一条直线;在绳子上打两个结,拉直后,两结之间就是一条线段。认识角时,先让学生说一说自己在日常生活中看到的角,再让学生拿一张纸,用它折成大小不同的角,然后指导学生用硬纸条做成活动的角,最后出示角的图形,引导学生认识角的各部分名称并指导学生从一个点起,用尺子向不同的方向画两条线,画成一个角。垂线、平行线等方面的知识,都是采取这种直观的方法,使学生对这些几何图形都有了个初步的印象,并且在这些不断地操作活动中,小脑袋总在不停地想问题,为中、高年段的学习,走好了至关重要的第一步。
二、操作实验,掌握特征,建立空间观念。
让学生在认识各种几何形体本质特征前,通过视觉、触摸觉和动觉的感知,进行多种器官协调活动的实际操作,建立起鲜明、稳定、完整的物体表象,为思维、想象等过程的概括和空间观念的逐步建立奠定基础,这是当前在课堂上教学几何形体知识的一个改革。
例如,在长方形和平行四边形的结构特征教学时,我指导学生用硬纸条钉成一个长方形,拉动长方形的边,使它变成不同的平行四边形,再把平行四边形变成长方形。使学生看到,这两种图形相同点是:都有4个角4条边,两组对边分别平行且相等;长方形具备平行四边形的特征,也属于平行四边形,都具有不稳定性。不同点是:长方形的四个角是直角,是特殊的平行四边形。在长、正方形和平行四边形的面积计算教学时,指导学生在一个长5厘米、宽3厘米的长方形里摆边长是1厘米的正方形。我先让学生沿着长方形的长边一排摆5个,沿着宽边摆3排,共摆了15个小正方形,正好摆,那么长方形的面积就应是15个小正方形的面积之和,即15平方厘米。学生操作完后,我又让学生想一想,你摆在长方形里的小正方形的边长与长方形的长、宽有什么关系?学生看到在长方形的长边上摆了5个边长是1厘米的小正方形,得出长方形的长就是5厘米。在长方形的宽边上摆了3个边长是1厘米的小正方形,长方形的宽就是3厘米,把长5厘米与宽3厘米相乘,正好是15平方厘米。与数出正方形的个数相等。再问学生通过刚才的操作实验,分析比较,你能告诉老师长方形的面积应该怎么求吗?有的学生说,把每排摆的个数与摆的排数相乘;有的学生说,因为长方形的长度数表示每排摆的个数,宽度数表示摆的排数,所以长方形的面积=长×宽。学生弄清了长方形面积计算公式的由来,正方形、平行四边形面积的推导亦由此派生。他们很容易说出，由于正方形是长和宽相等的特殊的长方形,所以正方形的面积应是“边长X边长”。教学平行四边形的面积计算公式的推导时,我让学生沿平行四边形的高,将平行四边形剪成一个小直角三角形和直角梯形，然后将直角三角形向右平移,使两条斜边完全重合。于是学生就发现原平行四边形变成了长方形。这时我问学生;“原平行四边形和拼成的长方形什么变了,什么没变?”学生说:“图形变了,面积大小一样。”“你们发觉长方形的长、宽与原平行四边形的底和高有什么关系?这时有的学生用尺子量原平行四边形的底、高和长方形的长、宽,发觉长方形的长与原平行四边形的底一样长,长方形的宽与原平行四边形的高一样长。观察能力较强的学生说,根本不需要用尺子量,因为我们把原平行四边形剪成一个直角三角形和直角梯形,平移后拼成的长方形,它们什么地方都没少一点,底边和高度都没变。我认为这两种判断方法都无可非议,前者重在测量数据比较,后者重在直接观察比较,两种方法都必须通过大脑的积极思维而产生。最后让学生根据自已发现的规律,想一想,根据长方形的面积计算公式,你能总结出平行四边形面积计算公式吗?学生有了前面的操作,认识基础,不难总结出平行四边形的面积计算公式应是“底x高”。
在学习立体图形时,也是指导学生从操作观察入手,通过实验,学生获得立体图形的表象。如教学长方体、正方体的表面积和体积的认识和计算,我让每个学生照课本后面的学具制作一个长方体和正方体。先看一看它们都是由几个面围成的,每个面的形状是怎样的?有几组面和面积相等。比较它们的面、棱、顶点的个数,找到相同处;比较它们的面的形状、面积的大小,棱的长短,找到它们的不同处(即属于它们各自的本质特征)。然后让学生将长、正方体展开,知道它们的表面积就是6个面的总面积对照展开图,按一定的顺序,找出每组面的长和宽(正方体只需找一组面的棱长),算出长、正方体的表面积。而且通过观察、思考、判断、综合,学生体会到长方体每个面的长和宽与长方体的长、宽、高有关。如果知道长方体的长、宽、高,就可以根据实际需要计算出长方体的表面积。如正方体只要知道一条棱长,算出一个面的面积,再乘以6就是正方体的表面积。长、正方体体积的概念建立后,在进行体积的计算学习时,我仍让学生通过摆棱长是1厘米的正方体木块,发现每排摆的个数,摆的排数和摆的层数与长方体的长、宽、高有关,每排个数×排数×层数=总个数。这个体积单位的总个数又正好是这个长方体的长、宽、高和乘积,从而很自然地导出长方体的体积计算公式是“长×宽X高”。正方体的体积公式不须老师教给,学生联想长、正方形的关系,就可知长方体与正方体的关系。
加强操作实验,不仅使学生对各种形体的结构特征、面积和体积概念,都有较深的感性知识,而且在老师的适时指导下,逐步培养他们的抽象概括能力。学生的认识水平既能在思想上把对象和现象的本质的东西和非本质的东西区分开来,舍弃非本质的东西,抽取出本质的东西,又能在思想上把对象和现象已分出来的一般的东西联合起来,较完整地形成空间观念。
三、迁移转化,提高能力,发展空间观念。
能力是一种个性心理特征,它与知识、技能是相互联系、互相转化的,能力是掌提知识技能的必要前提。以操作为手段,让学生通过大量的直观形象,获得丰富的感性材料,在此基础上,逐步引导学生学会观察、比较、分析,判断,推理、迁移、类推,并且始终坚持训练,久而久之,学生的动手、语言、思维能力渐渐得到提高。能力一但形成,就会收到良好的教学效果。学生在平行四边形面积的学习过程中,已经获得如何把未知转化为已知,进面推导面积公式的第一手资料。在学习三角形面积计算时,我指导学生用旋转平移的操作方法,把任意两个完全一样的三角形,先重合,再将上面一个三角形沿逆时针方向旋转180°,然后沿着下面三角形的边向上平行移动。如图:
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学生操作完毕,我问学生,“你们发现了什么?”他们马上联想
前面学习平行四边形面积公式推导方法,找出拼成的平行四边形的底和高是原三角形的底和高,一个三角形的面积只是拼成的平行四边形面积的一半,所以三角形的面积计算公式应是“底X高÷2”。有了平行四边形、三角形面积公式分析推理的思路,在学习梯形面积计算时,我就放手让学生自己操作、迁移、类推。他们把两个完全一样的梯形,经过旋转平移后拼成一个平行四边形,再依据梯形的上底和下底与平行四边形底的关系,梯形的高与平行四边形的高的关系,梯形的面积与平行四边形面积的关系,总结出梯形的面积计算公式是“(上底+下底)×高÷2”。这一组平面图形的面积计算公式的推导,一环套一环,相辅相成,用统一操作、分析、推理的思路,删繁化简,调动了学生参与学习全过程的积极性。他们通过自己的实践,发现规律、认识规律、总结规律,并运用规律解决实际问题。如“已知一块三角形地的面积是132平方米,它的高是12米,求这三角形地的底长是多少米?”对于这类题目,原来学生老不明白为什么要先将面积乘以2,再除以高得底。老师讲解时,也只足按方程中乘除法之间的关系抽象说明,结果学生仍不明其意。现在进行了上面所述的教学操作后,学生有了操作实验的经验,理清了三角形的底和高与平行四边形的底和高、三角形的面积与平行四边形面积的关系,明白了其中变换的道理,所以掌握得很好。
学生在学习圆的面积计算公式时,我让每个学生拿出按教材要求制作的学具,这时就有学生马上联想到前面的面积公式的指导方法,确立一定又要把圆转化成我们已学过的图形,来导出圆的面积计算公式。怎样转化呢?首先我让学生把圆按已分的16等份剪开,并对半分成两部分,然后把这些近似等腰三角形的小纸片拼一拼,看能拼成什么图形。学生发现可拼成一个近似的平行四边形;再让学生将分成32等份的圆形剪开拼一拼,又拼成一个近似长方形;我又用将圆分成24等份的教具,剪开拼成了近似长方形。将3个分、拼的图形加以比较,学生看到,分的份数越多,每一份就会越细,拼成的图形就会越近似于长方形,我接着问:“现在把圆拼成了一个长方形,你们知道下面该怎么办?”学生说:“要找关系。”“找哪些关系?”学生们都知道今天所学圆的面积一定是要通过长方形的面积推导出来,但是长方形的长和宽与圆的什么有关系呢?一部分学生什么关系也不知道,另部分学生只知道长方形的宽是圆的半径。这时我不急于拿出结论,针对学生还不太清楚的状况,我要学生重新将拼成的长方形拆开,合拼成一个圆。在边拆边拼时，提醒学生观察长方形的长变到圆的哪个部位上去了?这样反复做两次,最后学生明白了长方形的长相当于圆周长的一半,即C,? 2 如果用半径r求周长的话,2πr,? 2=πr,也就是说长方形的长相当于πr,相当于长方形的面积=长x宽=xrxr，等于xr的平方,圆的面积同长方形的面积相等,所以圆的面积计算公式是S=πr的平方，这是学生感到困难的地方,由于他们经过直线形面积推导的训练,具备了把未知的问题转化成已知的问题进行思考的能力,所以学得非常轻松,理解得非常透彻。而且在能力的培养过程中,学生的思维和语言得到同步的发展,他们能用较准确的语言表达思维过程。
又如在圆柱表面积和体积的认识及计算,是在学生掌握
长方体表面积和体积的知识基础上运用迁移转化规律而获
得新知识的。在教学圆柱的体积时,我提出两个问题:①学习圆的面积计算时,我们是怎洋把圆变成已学的图形后再找出计算公式的?②想一想,能不能把圆柱转化成我们学过的立体图形来计算它的体积?学生想圆可以转化成近似长方形推导出圆的面积计算公式,那么圆柱体是否能转化成长方体来推导出它的体积计算公式呢?我拿出4个圆柱体,其中两个圆柱的底面分成16个相等的扇形,另两个圆柱的底面分成14个相等的扇形(课前已分好),每组分一个圆柱体,学生以组为单位展开活动。首先要他们把圆柱等份切开,然后照课本上的图样拼起来,看看拼成一个什么图形?学生发现四个圆柱都拼成了一个近似长方体,而且看到分成的扇形越多,拼成的立体图形越接近于长方体。分拼完毕,学生纷纷表示已经会总结画柱体的体积计算公式了。他们说,拼成的长方体的底面积等于圆柱体的底面积,用s表示,这个长方体的高就是圆柱体的高,用h表示。已知长方体的体积是底面积乘以高,所以圆柱体的体积应是V=sh。
学习圆锥体的体积计算时,我完全放手让学生实验,找规
律,总结公式。学生拿出自做的等底等高的圆柱和圆锥,在圆锥里装满水，往圆柱里倒,发觉要倒三次,才能将圆柱装满。由此可知,圆锥体积只是圆柱体积的三分之一,即V=1?3 s h 。 如何建立完整的空间观念？学生要掌握几何形体知识,就是这样在多次感知中概括出它们的共同特征及各自独特的性质,从而建立和发展了良好的空间观念。增强学生的空间观念，就加深对知识的理解,促进思维的发展和能力的提高。既有利于学生更好地理解和掌握各种几何形体，使学生进一步了解各形体之间的联系和区别,对小学阶段应掌握的几何形体知识有了系统的完整的再认识、再提高,从而锻炼了学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。