李文丽 吴石 井雪颖
华北理工大学 理学院数学与应用数学
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华北理工大学 理学院应用物理学 063210
摘要：本文主要考虑《常微分方程》课程中的有关积分因子的问题，给出学习心得。若方程为非恰当微分方程解起来很麻烦，需要一个催化剂来使问题变简单，积分因子充当催化剂，使非恰当微分方程变为恰当微分方程。
关键词：积分因子；恰当微分方程；催化剂；以简驭繁；
一、前言
利用积分因子，可以对一个一阶微分方程的求解进行统一处理。因此，如何求解积分因子就成为一阶微分方程的重点了。在《常微分方程》这本教材里面给出了只与x或y有关的积分因子，就目前来看已经达到了简化问题的要求。
在许多科学领域中常常需要研究常微分方程的理论和其解是否存在，求得常微分方程的解能使常微分方程在其他的科学领域有更好的应用。对常微分的研究背景可分为以下几个阶段[1]：
发展初期是针对具体的常微分方程，希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于“求通解”的时代。
刘维尔在1841年证明了里卡蒂方程不存在一般的初等解，同时柯西又提出了初值问题。因此，早期的常微分方程的求解热潮中断了，而常微分方程从“求通解”时代转向“求定解”时代。
19世纪末，常微分方程的研究从“求定解”时代转向“求所有解”的新时代，那是由天体力学中的太阳系稳定性问题需要研究常微分方程解的大范围性态引起的。
20世纪末六七十年代以后，常微分方程在计算机技术发展的促进下，从“求所有解”时代转入“求特殊解”时代。
求常微分方程的通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就能容易地求出问题所需要的特解；根据通解的表达式可以了解其对某些参数的依赖情况，便于参数取值，使它对应的解具有所需要的性能，也有助于解的其他研究。虽然通过求通解的方法可以求出方程的解，但是有些时候会比较复杂，因此我们要寻找更为简便的求解方法对常微分方程的求解积分因子法是一种很好的求解方法,它能将复杂的计算简单化
二、正文
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几种常见的积分因子的类型及求法[5]：
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三、总结与展望
本课题的主要内容是积分因子法作为催化剂使得非恰当微分方程转化为恰当微分方程，利用积分因子法来解决常微分方程的一些复杂的计算问题，并且积分因子是不唯一的。
本学期初学常微分方程这门课程，对积分因子的了解只停留在x或y上，了解的不是很深入。因此，提出积分因子在各种领域的应用还是有一定难度的。尽管难度有些大，但是我相信今后我会找到更多的方法应用到更多的领域。
常微分方程的研究与其他学科领域的结合，会使得各种新的研究分支出现。相信常微分方程会在更多的学科领域有更好更充分的应用，会得到很好的发展，做出更大的贡献。
总的来说，应用积分因子可以使得很多常微分方程的计算得到简化，能够达到以简驭繁的效果。
参考文献
[1]和炳,乙了,廖建全,钟澎洪.以问题意识为导向的《常微分方程》教学实践[J].广东第二师范学院学报,2018,38(03):104-107
[2]崔晓祺,杨高翔.一类非恰当微分方程积分因子的求解及应用[J].高师理科学刊,2019,39(10):27-28+36.
[3]邹国源.积分因子及其求法[J].数学学习,1998(02):24-25+39.
[4]李中杰,王磊.几类一阶常微分方程的积分因子[J].镇江高专学报,2018,31(02):57-59.
[5]郑治波,赵文燕.非恰当微分方程的解法[J].课程教育研究,2019(48):244-245.