陈敬
邛崃市文昌中学 四川 邛崃 611530
摘 要：通过介绍数学家欧拉的生平和他解决的主要的数学名题，从而整理出他解决问题的数学思想方法——抽象与建模，类比与猜想，技巧与创新.然后再结合素质教育和新课标的要求，谈论这些思想方法在中学数学教学中的指导与应用，寻找出一种培养学生创新能力和提高学生学习兴趣的新方法.
关键词：思想方法；数学抽象；数学类比；数学建模；数学猜想
十八世纪下半叶，法国数学家拉普拉斯曾对青年学生们说：“读读欧拉，他是我们一切人的老师.”下面，让我们带着这句话一起去看看这个数学英雄解决过的几个问题。
一 欧拉与数学名题
欧拉喜欢研究特定的具体问题，与当时的生产实际，社会需要和军事需要等紧密相连下面列举了由他解决的几个数学名题，从而看出欧拉与众不同的思想方法.
1 巧解费马数
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2 哥尼斯堡七桥问题
十八世纪，德国有一条普勒格尔河，流贯哥尼斯堡城（现在俄罗斯的加里宁格勒）.这条河有两个支流，在城中汇成大河.人们建造了七座桥，连接两个岛屿和两岸.有人提出这样的问题：能否从某地出发，经过每一座桥一次且仅一次，然后返回出发地呢？如图1所示：A，B表示两个岛屿；D，C是两岸。
欧拉把四块陆地抽象为四个点，把七座桥抽象为七条线.于是哥尼斯堡七桥问题转化为能否一笔画的问题（如图2）.接着，欧拉考虑了“一笔画”的结构特征，得出了能够一笔画的图形的充要条件：图是连通的，且奇点数为0或2.（奇点：一个点如果与奇数条边相关联就成为奇点；反之，则称为偶点）把这个结论应用于图（2）.容易看出：A，B，C，D四个点都是奇点.所以这个图不能一笔画，从而七桥问题的答案是否定的.
3 求无穷级数
的和
波利亚曾说过：“没有这些思想（普遍化，特殊化，和类比的通用的基本思路），特别是没有类比，在初等或高等数学中也许就不会有发现”.欧拉正是借助类比，用三角方程与代数方程作类比，求出了无穷级数
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以上三个问题只是欧拉解决的许多问题中的少部分，但是，就这三个题，却体现了欧拉伟大的数学思想：抽象与建模，类比与猜想，技巧与创新.在解决七桥问题时，巧妙抽象，概括本质,建立数学模型.不但解决了实际问题，而且还为图论与《拓扑学》打下了基础，给人一种“新”的感觉；在求级数中，想别人之不敢想，做别人之不敢做，将有限与无限类比，大胆猜想.从而开创了一种新的论证方法，这是“奇”的体现；对于妙呢？欧拉只用初等数学的因式分解就推翻了数论权威费马的猜想，难道这不能让人感觉到“妙”吗？那么，这些思想在中学教学中有用吗?如果有用，该怎么用呢？
二 欧拉的数学思想在中学数学中的应用
1 技巧与猜想的应用
在数学上，技巧就是解题的能力，建立证明的能力，以及检查和分析解和证明是否正确的能力，而且在数学上，技巧比仅仅拥有知识更为重要得多.而我们该怎样教技巧呢？[2]通过模仿和实践，让学生从手头上的题目中找出一些可能用于今后题目的特征——揭示储存在当前具体情况下的一般模式.技巧解题和一般方法解题相比，可以引起学生的兴趣，使学生感到耳目一新.
牛顿曾说:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现”.猜想是对事物变化方向的一种“猜测”性判断,这种判断并没有经过严格的推理和验证.解数学题,特别是解几何题,常常根据图形的特点,在联想的基础上“跳”到某种猜想的结论,再设法证明这种猜想是正确的.在欧拉解决的七桥问题和求级数问题中,都是没有经过严格的数学论证,而是通过奇妙的猜想先得出了结果,后来再加以证明的.如果在课堂教学的过程中应用猜想,可以活跃课堂气氛,增加学生的积极性,带给学生更多的惊喜,提高教学效果，让学生更富有创新能力.
2 把某些抽象的问题具体化
荷兰著名数学家弗来登塔尔说过：“数学是系统化了的常识”.而这个“系统化”就是一个对具体事物进行了抽象，再抽象的过程.[3]数学上的公式，定理，定义等都是进行抽象后的结果，正因为抽象，使学生感到数学难懂，难学，无味.在教的时候，我们尽可能把那些很抽象的知识具体化，特别是要利用生活中的例子，建立数学模型,启发学生. 这样学生才会对数学公式,数学定理理解更深刻，才能激发学生的好奇心，去探索生活中遇到的问题，坚定学好数学的信念.比如：讲概率的时候，可以从“赌金分配问题”开始.通过这个生活中的具体例子，再抽象成概率的问题来解决，学生就很容易接受。
3 合理运用类比
哲学家康德说过：“每当理智缺乏可靠论证思路时，类比这个方法往往可以指引我们前进”.现在的社会，看重的是创新，而类比就是创新的方法之一.借助类比，可以有效地学习新知，掌握新知；借助类比，可以启迪思维，发现新的东西.好好利用，往往会起到意想不到的效果。如讲二元函数极限概念时，就可以用一元函数极限概念相类比的方法，启发学生自己给出定义.由学生根据一元函数极限定义中这些量之间的关系结构，就可类比出二元函数中相应量之间的关系结构，给出二元函数极限定义.
总之，数学家欧拉的解题思想方法提示我们在以后的教学中：从实际问题入手，把握住抽象和类比的特点，大胆猜想,建立数学模型，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新和综合能力！
参考文献
[1] G·波利亚. 数学与猜想[M].北京：科学出版社,1984.
[2] G·波利亚. 数学的发现[M].北京：科学出版社,1987.
[3] 吕林海.数学抽象的思变[J].数学教育学报,2001，10（4）:59,61.