王铁成
榆林市第三中学 陕西省榆林市719000
解决数学问题的过程是思维训练的过程，也是心理内化的过程，学生思维能力的提高是教学活动的重要目标之一，如何引导学生展开思维活动，优化他们的思维品质，就应该是每一个教学工作者思考的问题。笔者根据自己多年的教学实践，从以下四个方面来谈谈如何优化学生的思维品质。
一、引导学生尝误反思，体会思维的批判性
例1设双曲线(＞＞)的半焦距是，直线过,两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率是＿＿＿。
根据条件直译：直线即故解之得双曲线的离心率或，粗一看所得两值都符合双曲线离心率的范围要求，果真如此吗？细心的同学首先会发现，题目括号中的条件起了变化，不是常规双曲线的条件＞,＞，条件的细微变化对问题结果是否会产生影响，则要进一步验证。通过验证，可发现＞，可知才符合题意。
例2已知二次函数和一次函数，其中、、满足＞＞，（，，）
（1）求证两函数的图象交于不同的两点A、B；
（2）求线段AB在轴上的射影的长的取值范围。
对于问题（2），在得到
时，思考已知条件，＞＞有＜＜，故的取值范围是，然而正确的结果却是。对于错解，引导学生反思，实行再思考，目光聚焦于是一次函数这个条件，加以辨析，得≠，因而≠，于是≠，因而≠2。
通过上述两例的尝误反思，使学生能够体会思维的批判性。
二、引导学生把握特征，体会思维的灵活性
例3求曲线,与直线围成的阴影部分的面积。
数形结合，利用图形的直观，灵
活把握图形的特征，可以看出阴
影部分的面积是矩形面
积的一半，（如右图），易得所求
面积为。
例4已知函数，且＞,＞,＞，判断的正负。
若通过直接代入去考虑式子和符号，对于没有一定运算能力和解题意志的同学，是很难完成的。但如果思维灵活的同学注意到具有的奇偶性和单调性，则问题解决变得快捷而富有美感，由题意＞即＞，有＞故＞，同理可证余下的结论。
对上述两例，若思维缺少灵活性，则不易解决。
三、引导学生普遍联系，体会思维的广阔性
例5设，且，求证：≤。
分析条件及结论，联系各重要知识点，有以下各种思路：
思路1，注意到两数之和，两数之积，可构造一元二次方程解决。设是方程的两根，记
，由≥解得≤，即≤。
思路2联系到简易逻辑的知识，可用反证法。反设＞则＞＞，反复使用，则＞＞＞＞＞＞这不可能，故≤。
思路3，联系函数的凹凸性及函数图象。
函数是上的凹函数，
由≥得≥
（如右图）≥即≤。
思路4，由结构联想等差中项，则成等差数列，不妨设≤，公差≥，，1, 组成一个新数列。下面比较大小， ≥，即≥也即≤。
思路5，注意到等号成立的条件是，联想到平均值不等式≥， ≥。两式相加，≥≥≤。
思路6，由联想到二项式定理。因为 =≥所以≤即≤。
本题虽然只有两个式子，却闪耀着丰富的信息点，如轮换对称、立方和公式、等差中项、二项式定理，取等号，从两数之和到两数之积进而到一元二次方程等等，大大刺激了我们的联想和想象，使我们体会了思维的广阔性。
例6设，，求证：＜。
本题属于不等式的证明，而直接由条件向结论迁移，则难以实现解题
目标，但若考虑到六个正数：，，，，，，依
次划分为两数之积的和的形式，给我们以线段之积之和的映像，因而将
原问题进行图形表征，构造一边长为的正三角形，并分别在边
、、上截取
（如图）问题可稚化到研究特殊三角形性质上来，因为＞
即＞整理即得结论不等式。
另注意到，，的范围，联系概率知识则有以下解法：
设、、为三个独立事件，且，由概率加法公式得
≥
=
=
=
即≤＜。
如果我们的思维缺乏广阔性，此题的解决也将不易。
四、引导学生整体处理，体会思维的深刻性
例7若，求证：＞。
分析 对于高次不等式，用不等式的基本证法来证往往失效。若采用分解区间讨论的方法，又显然麻烦。如果注意到不等式左边的多项式中字母系数次数的特点，令来处理，则问题变成证明二次三项式之值恒正，从＜可知对任意实数，＞恒成立，从而原不等式得证。
例8证明恒等式
分析 通常的看法常常是：因问题与自然数有关，故考虑用数学归纳法（通法），但这不要说其中要用到配凑的技巧，就是书写也要分两步，即使不难，写也够繁，若能注意到式子的整体特点，就不难看出上式不过是个数列的前项之和，故可设数列是以为其前项之和。故由可得，从而原式可证。