甘春燕
湖北省十堰市张湾区实验中学甘春燕 442000
个人简介：从事初中数学教学25年，中教高级教师。
正文：在学习圆的内容时，很多同学觉得难学，总是找不到解题的突破口。觉得难学，很大程度是因为不会画辅助线。辅助线，就是现有图形的基础上，添加一些线条，以便运用所学知识，化繁为简，达到解决问题的目的。在解决几何问题的时候，当运用题目给出的条件无法解决问题时，可以通过添加辅助线，形成新图形，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这便是辅助线的作用。一条巧妙的辅助线常常使一道难题迎刃而解。在此，对初中几何圆中常见的辅助线的添加思路从以下几个方面进行总结。
一：弦长计算，作弦心距，结合勾股定理和垂径定理。
例：如图，已知⊙O的半径为13，点O到AB的距离是5，则弦AB长是多少？
.png)
分析：过O作OC⊥AB于C，由垂径定理得AC=BC=AB
在Rt△AOC中，由勾股定理得AC=12.所以AB=24.
二：切线的证明：
1.连半径，证垂直。
例：如图， AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，过D作DE⊥AC交AC延长线于点E，交AB延长线于点F．
求证：EF是⊙O的切线；
.png)
分析：连接OD ，先证OD∥AE，再证OD⊥EF，直线EF经过半径OD的外端点D，并与OD垂直。从而可以证明EF是⊙O的切线.
2.作垂直，证半径
例：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．
求证：CD与⊙O相切；
.png)
分析：过点O作OG⊥DC，垂足为G．证明△ADO≌△GDO后可以得到OA=OG．从而OG是⊙O的半径，CD经过半径OG的外端点并与半径OG垂直，根据切线的判定可以证明CD与⊙O相切。
三：有直径，作直径所对圆周角。
例：如图，是的外接圆⊙O的直径，若，则
．
.png)
分析：连接，如图，因为AD为的外接圆⊙O的直径，所以∠ABD＝90°,
从而可得∠ACB＝∠D＝50°
四.弧有中点，连中点圆心，结合垂径定理。
例：如图，在扇形中，已知，，过弧AB的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为（ ）
.png)
分析：连接OC,因为点C为弧AB的中点，所以∠AOC＝∠BOC,从而可以证明△CDO≌△CEO,于是四边形CDOE为正方形，面积等于1，由扇形面积公式得，故选B。
解决圆的证明和计算问题时，常常用的的知识有相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数、 三角形中位线定理、圆周角定理、切线的判定与性质、切线长定理、特殊四边形判定和性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形等来解决问题。