李丽华
营口市第三十一初级中学 辽宁营口 115007
摘要：数学中考新题型的“从动点”运动路径长度问题，从两个层面对学生的数学掌握水平进行综合考察，难度整体偏大。本文对此类问题的难点产生原因进行了分析，提出注重对问题本质的思索，提升静态具象思维与动态抽象思维互相转化的能力等深度解决“从动点”运动路径长度问题的有效方式，以供参考。
关键词：从动点；运动路径长度；静态具象思维；动态抽象思维
引言：初中数学中的从动点问题，在2010年以前的中考试卷中，出现的频率相对较低。但随着教学的深入，出题者及广大教研人员发现，此类动态的“主从联动”问题（又被很多教师称之为瓜豆原理或旋转相似问题），对于考察学生们的抽象思维与逻辑思维能力具有良好的作用，故已成为了中学数学的“网红问题”。
一、数学中考新题型“从动点”与运动路径长度问题难点解析
在初中数学有关几何问题的教学中，存在一种现象，即对于静止不动的几何问题，只要对基础规律有所了解的学生，都能够准确找到点、线、面之间的关系，对于周长、面积之间相互转化，求解目标项的问题，均能得出正确答案。但当静态的“定量”转化为动态的“变量”时，很多学生由于欠缺逻辑思维能力，往往在求解时缺乏思路。比如数学中考试卷中出现的热门新题型——“从动点”运动路径长度问题，几乎成为了“扣分专项”。该类问题的难点如下：
（1）题设条件与求解项之间存在“隔阂”，导致学生无法确认正确答案产生之前必须求得的关键条件。如例题“在矩形ABCD中，AB（宽）=3，BC（长）=4，P是BC边上的一个动点，连接AP形成△ABP，沿AP边将其烦着，得到对称的△AQP，Q为点B翻折后的对称点，连接CQ，求CQ的最小值”。该题具备较强的代表性，是一类从动点问题的典型。其难点在于，很多学生无法在短时间内对一些隐藏条件进行提取，从而完成问题求解过程的“转化”。比如AQ的长度，无论P如何移动，其均与AB相等，故目标问题CQ的长度，实质上是以A为圆心，以AB（或AQ）为半径形成的圆周中，距离C点最近的问题（定点到圆上各点位的最短距离）。明确此项观念之后，问题的求解即会非常简单。
（2）静态具象思维向动态抽象思维转化能力较差导致的求解难点。以2012年张家界中考“从动点”运动路径长度问题为例：如图1所示，已知线段AB长度=6，点C、D均位于线段AB上，且AC=DB=1，点P位于线段CD之间，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作出等边△AEP和等边△PEB，连接EF。设EF中点为G，当点P从点C运动到点D时，点G移动路径的长度是多少？此题求解的关键在于，对主动点P与从动点G进行确认并不困难，但在“动态”的背景下，精确捕捉两点位置变换过程的关联性，存在极大的难度。换言之，如果学生能够对此种动态变化过程了如指掌，并提取出其中的客观规律，则解题思路将会变得十分清晰。
图 1 图 2
二、深度掌握数学中考新题型“从动点”运动路径长度的有效方式
（一）注重对问题本质的思索
根据上文所述，“从动点”运动路径长度求解问题实质上是在考察学生对问题本质的探索能力，能够完成对应关系的主动转化，将题设条件和求解目标军均转换为相对简单的模式，是解题的关键。针对上述中考问题，可以按照图2所示，做出辅助线，具体流程为：①在图1的基础上，延长AE、BF，交汇至点H，并连接HC、HP、HD；此外，以点G为中心，沿水平方向分别向两侧延伸，交HC于M，教HD于N。②根据题设条件，△AEP、△BFP均为等边三角形，故∠FBP=∠FPB=∠EPA=∠EPF=60°，且EP∥BF，因此，在点P及点G未曾变换位置的条件下，四边形EPFH为平行四边形，且△ABH为等边三角形。③基于上述条件，可得出一个重要结论，EF为平行四边形EPFH的一条对角线，而HP为另一条对角线，点G作为两条对角线的交点，为平行四边形EPHF的中点，故PG=HG。至此阶段，求得最终结果的所有条件均已出现（上述列举的很多条件，对于求解问题并无实质性的帮助，逐一列举意在模拟学生答题时的心境，进而确定思维陷入误区的具体过程），但很多学生会被一个新产生的问题困扰，导致正确答案 虽然“近在眼前”，却实际上“远在天边”。该问题为，随着P点的移动，G点的移动轨迹为何？按照题设条件（重新审视图1），G为EF的的中点，故很多学生下意识地认为，G无论怎样移动，其轨迹均无法脱离线段EF的限制。经过模拟测试，出现此种疑问的学生不在少数。此处的解题关键在于，G已经成为“真实存在的条件”，当其随着P点位置的变化而变化时，因为P维持水平方向，故G也会维持水平方向；至此阶段“G为EF中点”已经成为干扰选项。明确此项内容之后，视线转向图2，之前连接的辅助线HC、HD，实质上是在等边三角形AHB下，线段HP随着P点水平变化时的两条“边缘线段”，与之相应的，M与N分别为水平方向上，G点位置变化的“边缘点位”，故MN的长度，即为G的移动路径。至此，由于G点同时也是HP的中点，结合平行线分线段成比例定理，加之等边三角形AHB，可得出M、N分别为HC、HD中点这一结论，故MN为三角形HCD的中位线，其长度=CD/2=2[1]。
回顾上述解题过程，此类求“从动点”的运动路径长度问题，实质上是打着“运动”的幌子，将一些平面几何的定理掩藏在其后。如果学生缺乏“追本溯源”的能力，无法对题设条件进行有效转化，进而使解题思路完全停滞在“动态运动”等字样上，则必然无法顺利得出正确答案。
（二）提升静态具象思维与动态抽象思维互相转化的能力
同样以上述例题为例，教师在开展专题教学时，应该注意提升学生静态具象思维与动态抽象思维相互转化的能力，进而对复杂问题进行弱化，运用“特定条件带入”的方式，求解出正确答案。如上文提到的，很多学生经过“抽丝剥茧”，得到很多重要条件后，却在G点移动路径确认方面陷入困境，为了解决这一难点，可以通过如下的“特定条件带入”方式，完成关键条件确认。如图2所示，困扰学生的题设条件为“G为EF中点”，但根据“四边形EPFH是平行四边形”、“G为HP中点”等条件，可以暂时“屏蔽”EF，使题设条件转化为“当P从点C移动至点D时，HP中点G的移动路径长度”。如此一来，干扰项全部排出，G的移动路径显而易见，无论P的位置如何变化，MN均与AB保持平衡关系。此时，运用中位线定理及等腰三角形有关定理，即可轻而易举地求得MN与CD之间的关系，从而得出正确结论[2]。
包含求“从动点”运动路径长度问题在内几何求解问题，极其考验学生静态具象思维与动态抽象思维相互转化的能力，教学中的核心环节在于，教师需要引导学生，正确看待“特例”与“整体”之间的“适用”、“符合”、“容纳”等关系，从而做到求解此类问题时“得心应手”，最终在中考时取得理想的成绩。
结语：表面看来，数学是一门研究举行事物数学关系的学科；但实质上，数学是打开抽象思维领域的“钥匙”。综合近年来的数学中考情况，很多学生无法完整求解“从动点”运动路径长度问题的根本原因在于，基础知识掌握不牢，缺乏具象→抽象思维转换的能力。因此，教师需要重点渗透，从而全方位提升学习成绩。
参考文献：
[1]马先龙.例谈如何解一类“动点运动路径长”问题[J].数理化学习(初中版),2019(11):29-31.
[2]吴国庆,陈良俊.例谈动点运动路径长问题[J].理科考试研究,2017,24(14):14-18.
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