曹一红
江苏省张家港市第一中学 江苏省张家港市 215600
在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.一个三角形里有三条中线,三角形的三条中线交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
三角形的中线有下列性质:
1.三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点距离的两倍.
2.经过三角形一角顶点与重心的直线,必经过这个角对边的中点.
3.一个三角形的三条中线把原三角形分成六个面积相等的小三角形.
4.等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相重合.
5.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半.
利用三角形中线的性质,可以解决一些实际问题.
例1：在△ABC中,过重心G画平行BC的直线交AB于点D,那么AD:DB=?
解题思路:根据题意画出图1,连接AG并延长AG交BC于E.
由中线性质2可知E是BC的 中点.
由中线性质1知, AG:GE=2:1
在△ABE中,∵DG∥BC,
∴,
故求得AD:DB=2:1
例2：如图2,在Rt△ABC中,∠S=90°,G为重心,且AG=2,
则AB2+GC2=?
解题思路:作GE⊥BC,E为垂足,延长AG交BC于点D,则D为BC的中点,GD=AG=1,
∴Rt△ABC斜边BC上的中线AD=3.由中线性质5知AD=BC=BD=CD=3,
在Rt△GDE中,根据勾股定理,得DE2+GE2=GD2=1,
同理在RT△GBE中,GB2=BE2+GE2=(BD+DE)2+GE2=BD2+2BD·DE+DE2+GE2.①
在RT△GCE中,GC2=CE2+GE2=(CD-DE)2+GE2=CD2-2CD·DE+DE2+GE2=BD2-2BDDE+DE2+GE2②
由①+②得GB2+GC2=2(BD2+DE2+GE2)=2(32+1)=20
例3：如图3,在等腰△ABC中,CH是底边上的高线.点P是线段CH上不与端点重合的任意一点,连接AP交BC于点E, 连接BP交AC于点F,(1)证明:∠CAE=∠CBF
⑵证明:AE=BF
证明思路: (1)在△ABC中, AC=BC,CH⊥AB于点H,根据三角形中线性质4,知CH是底边AB上的中线,又CH⊥AB,∴CH是线段AB的中垂线.
∵点P在CH上,
∴PA=PB,
∴∠PAB=∠PBA.
∵AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA.
由等式性质得∠CAB-∠PAB=∠CAB-∠PBA,即∠CAE=∠CBF.
⑵在△ACE和△BCF中,∵∠ACE=∠BCF,AC=BC,∠CAE=∠CBF.
∴△ACE≌△BCF(ASA),∴AE=BF
例4:如图4, 在△ABC中,点D在AC上,DB=BC,点E是CD的中点,点F是AB的中点.
(1)求证:EF=AB
(2)过点A作 AG∥EF,交BE的延长线于点G, 求证△ABE≌△AGE.
证明思路:⑴连接BE,在△BCD中,∵DB=BC,E是DC 的中点,由三角形中线性质4知BE⊥CD.在Rt △AEB中,F是斜边AB的中点,由三角形中线性质5,知EF=AB
⑵由(1)知EF=AB=AF,所以∠FAE=∠FEA,
∵AG∥EF,
∴∠FEA=∠GAE,
∴∠FAE=∠GAE
又AE=AE,∠AEB=∠AEG=90°,∴△ABE≌△AGE(ASA)
例5, 如图5, 在△ABC中,中线AD,BE,CF相交于点G,GA=2,GB=2,GC=2求△ABC的面积.
证明思路: 根据三角形中线性质3,有S△GAF=S△GFB=S△GBD=S△GDC=S△GCE=S△GEA=S△ABC.∴S△GBC=S△ABC,因此只要求出△GBC的面积, △ABC的面积就容易求出来了.
延长AD至H,使DH=GD.
∵BD=DC,
∴,四边形BHCG为平行四边形,
在△HGC中,HG=AG=2GD=2,HC=GB=2,GC=2.
∵GC+HC=2+(2)=12,HG=(2)=12,
∴GC+HC=HG
由勾股定理逆定理知∠GCH=90°,
∴平行四边形BHCG是矩形, ∠BGC=90°
∴S△GBC=GB·GC=ⅹ2ⅹ2=2
∴S△GBC=S△ABC, ∴S△ABC=3 S△GBC=6.