秦宇峰
西安市高陵区张卜中学 710200
【摘要】：本文从一道高中数学题入手，运用初中的数学的知识，寻找解决问题的思路和方法。进而推广到一般情况，证出了平行四边形的两条对角线与四边之间的关系。
【关键词】：平行四边形 对角线 边
一天晚上外甥女发过来一道高三的数学题让我帮她解决，
问题是：已知在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=3，AC=4,求BD的长？
我想我只能从初中数学的角度解答，
我给出的方法如下
解：平行四边形ABCD
OA=AC=×4=2.
AB=2.
AB=OA.即AOB是等腰三角形。
过点A作AEBD。垂足为点E，由等腰三角形三线合一的性质可知BE=OE
设BE=OE=x,
则BO=OD=BD=2x，DE=x+2x=3x.
在RtABE中，AE2=22-x2,①
在RtADE中，AE2=32-(3x)2,②
由①②知22-x2=32-(3x)2
4-x2=9-9x2
x2=9-9x2, 9x2-x2= 9-4 8x2= 5, x2=
x= ==
BE=4x=4=
我想能不能总结出简单的方法呢？当时也是茫然不知所措，不知道有什么更简单的方法，能不能把具体的数字变成字母，试着看有没有规律可以使此类问题简单化。
改编问题为：
在平行四边形ABCD中，AB=a,AD=b，AC=2c,求BD的长？
解：平行四边形ABCD
OA=AC=×2c=c.
过点A作AEBD。
垂足为点E
设BE=x,OE=y.则BO=OD=BD=x+y，DE=x+y+y=x+2y.
在在RtABE中，AE2=a2-x2,①
在RtAOE中，AE2=c2-y2,②
在RtADE中，AE2=b2-(x+2y)2,③
由①②知a2-x2=c2-y2 所以a2-c2=x2-y2
即x2-y2=a2-c2 （4）
由①③知，a2-x2=b2-(x+2y)2，
a2-x2=b2-(x2+4xy+4y2),
a2-x2=b2-x2-4xy-4y2,
a2-b2=-4xy-4y2,
b2-a2=4xy+4y2,
2xy+2y2= （5）
由（4）+（5）得，
我悟出了这样的道理：平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的二倍。
也就是
平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和。
我以为这个结论是我第一次发现的，非常兴奋，上网一查才知道早有定论，证明的方法很多，有初中的平面几何法，有高中的三角函数法，向量法，但是没有发现与我的方法一样的方法，辅助线的添加方法不一样，体现了殊途同归。
用这个公式再解这道题（已知在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=3，AC=4,求BD的长？）就简单多了。
解：
通过这个定理的证明，我悟出了这样一个道理：平时多思考，多总结，找到最简捷的方法，考试时才能迅速抓住问题的核心，用很短的时间解决问题，达到事半功倍的效果。
【参考文献】百度文库：平行四边形对角线与四边的关系。