代文慧 李妍 张佳奇
华北理工大学 管理学院 063210
摘要：基于使选址最优的思想，使利润最大和成本最小的双目标，运用整数规划的相关方法进行分析。并应用EXCEL和Lingo软件对案例进行求解验证。最后得出在实际分布系统设计中运用整数规划得出最优方案的结论并阐明不足。
关键词：整数规划 ；分布系统 ；Lingo求解 ；0-1规划
引言
在当前经济多样化的社会背景下，如何投资使得利润最大成本最小一直是企业家们关注的问题。在进行投资分析时，运用运筹学工具来解决问题成为越来越受关注的方向。
运筹学中的整数规划在实际问题中比线性规划更加广泛，很多问题的答案必须是整数。比如要安排上班人数，分发礼品的个数，生产物品的件数等。对于求整数解的线性规划问题，并不能靠四舍五入或去尾法对所有线性规划问题的非整数解进行求解，而要用整数规划的方法加以解决。
整数规划一般可以分为三类，所有的决策变量都限定取整数的问题称为纯整数规划；在规划中一部分决策变量限定取整数，另一部分为连续变量的问题称为混合整数规划问题；不仅限定决策变量为整数，而且变量只允许取0和1这两个值，则称为0-1整数规划。整数规划比线性规划的解法复杂的多，在解决纯整数规划问题和混合整数规划时通常使用分支定界法和割平面法，通过把整数规划问题转化为一系列线性规划问题进行求解，从而得到最优值。对0-1整数规划用隐枚举法。
本文应用整数规划来解决分布系统设计问题，建立0-1规划模型并采用整数规划案例说明，并采用Lingo软件对案例进行建模求解，最后得出结论和阐明不足。
1.问题描述与建模
某企业要将i个生产地生产出的产品运往一个仓库储存，现有几个预选库房地址j。i地的产量为ai。货物从i运往j的运费为cij（i=1，2，…，m；j=1，2,…,n），用xij表示从生产地i运往库房j的商品数量。求如何运才能使总运费最小的方案。这样的问题可用0-1规划求解。令决策变量
从i地运往j地的运费为
若yj=0，则j地未被选中，此时xij应为0，所以还应有以下几个约束
由于只需要一个仓库，所以还应有约束条件：
于是，上述选址问题可归纳为一下整数规划形式：
此模型为0-1规划问题，运用穷举法检查每个变量取0和1时能够满足条件的所有组合，来确定目标函数值，并求得最优解。但是，当变量个数非常多时，穷举法便会很麻烦，很难记住并想出所有的可能方案。因此产生了隐枚举法，通过检查变量当组合的一部分，便可得到最优解。步骤为：1.先试着确定一个可行解X1；2.以第一个可行解为标准，添加一个过滤条件，原问题的约束条件加1；3.n个变量有2n个解，将这些解以表格的形式列出，看其是否符合过滤条件。如不符合，就不必要检查其他约束条件了。同理，在检查其他约束条件时，如果不符合约束，其他的约束条件也无需再检查，这样，就减少了运算次数。4.当遇到一个解大于一开始的可行解，则以当前可行解为过滤条件进行求解。如果接下来的求解有比当前可行解更优的解，则再次更换可行解，知道没有比这个可行解更优的解为止。否则，此解即为最优解。
2.整数规划求解实例
社会不断进步，人们的基本生活得到了保障，于是开始提升生活质量，健康饮食，一些脂肪少蛋白质含量高的肉类受到大众的喜爱。与此同时，这些肉类生产厂家之间的竞争也日益激烈。一家肉类食品公司着手改进原有的销售模式，以稳固其在市场的地位。因此，该公司计划建立一种新型的直销系统，通过和中间商合作，使双方都能获利。
建立直销系统就成为企业发展的新方式。通过市场调研，公司计划在A,B,C,D,E,F,G这7个地方建立直销店，与诚信度高且居民消费较多地区的中间商进行合作。由公司负责向中间商投资，中间商负责销售，在群众心中建立良好的企业形象，从而扩大市场份额。
通过对投资成本与收益比例的反复考量，发现与肉类日销量为500kg以上的中间商合作，才能有较高的收益。符合条件的中间商经过统计：B地8家，A地5家，C地3家，D地4家，E地3家，F地5家，G地2家。公司在这些地方选择合作伙伴，计划在A地最多建4家，最少建2家；在B地最多建5家，至最建3家；C地最多建1家；D地最多建2家；E地最多建1家，F地最多建4家，最少建2家；G地最多建1家。公司给每个中间商投资及每年销售额预测如下表所示：
总投资不大于100万元，要使销售收入达到最大，首先列出建点的条件，如下表所示：
由此可以建模如下：
可用分支定界法求解（分支定界法也是隐枚举法的一种）。此处运用EXCEL求解得最有目标函数值z=3095，最优解为x1=4;x2=5;x3=1;x4=2;x5=1;x6=4;x7=0
3.Lingo软件求解案例
求解该具体问题代码如下：
max =210*x1 + 175*x2 +200*x3 +200*x4 + 180*x5 + 150*x6 + 130*x7;
x1>=2;
x1<=4;
x2>=3;
x2<=5;
x3<=1;
x4<=2;
x5<=1;
x6>=2;
x6<=4;
x7<=1;
7*x1 + 5.5*x2 + 6.5*x3 + 6*x4 + 5.5*x5 + 4.5*x6 + 4*x7<=100;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);
求解结果如图所示：
与EXCEL求解结果相同。
4灵敏度分析
本例最优解为z=3095，当总投资额变为102万时，最优解为x1=4;x2=5;x3=1;x4=2;x5=1;x6=4;x7=1,总收益变为3225万。即预算增加2万收益增加130万。可见，最优值对条件参数有极高的灵敏度。这给我们在决策时的重要启发是，要善于借助运筹学的工具，分析付出与取得的报酬之间的比例，根据企业自身实际情况，合理选择投资方式。
5.结论
运筹学是以管理决策为基点，以科学方法论为依据，以系统观点为指导并以数学模型为工具的学科，并以定量分析为主来解决管理决策中的问题。实际问题中，运用整数规划的求解方法要比线性规划更加实际和准确。如同案例中场所的选择问题，线性规划求解的非整数结果不能直接用来评定选择几个厂址，需要运用分支定界法进行优化求解。在案例中，运用线性规划求解得出的销售最大收入为2155，同整数规划求解的结果3095相差很多，并不是最优结果。本文运用整数规划模型求解系统分布问题，使的结果更优。整数规划可以解决实际生活中的许多问题，比如投资问题，指派问题，分布系统设计等。由于水平有限，只做了简单的案例分析，下一步就是加深对整数规划的学习。
参考文献
[1]吴育华,杜纲.管理科学基础[M].第三版，天津，天津大学出版社，2009，50-51.
[2]韩伯堂.管理运筹学[M].第四版，北京，高等教育出版社，2015，199-200.