孙嘉惠1 李佳文2 门荣荣 3
华北理工大学 河北唐山 063200
摘要：本文要研究的问题严格来讲是一个纯整数规划问题，可用整数规划的模型求解。而该问题的后续问题涉及到应用线性规划的灵敏度分析解决问题的方法，如果用整数规划与线性规划对问题的求解结果是一致的，那么在后续问题中便可以将原问题看做线性规划问题来分析求解。另外，本文对问题求解与分析主要运用的是LINGO软件代替采用单纯形法的手工计算。
关键词：线性规划 ；灵敏度分析 ；lingo模型 ；
一、问题的提出
北方某金属罐制造厂有四种产品，分别由A,B,C,D四个字母来表示。这几年随着工厂那个技术的改进，产量大有提升。根据市场的分析，需求还会进一步增长，厂家的合作伙伴希望进一步开发更多功能的产品，所以工厂面临着需求的扩大再生产，努力开发让合作伙伴满意的新产品的压力。
生产A,B,C,D 4种金属罐有四个必经步骤:分别为是冲压、成行、装配、喷漆，每一个步骤都有相应的车间进行生产。
根据工艺要求及成本核算单位产品所需的加工时间、利润以及可供使用的总工时如表1所示。
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由于该厂只有一台冲压机，每天的工作时间为八个小时， 可供加工用的时间不多。另有若干个成形、装配、喷漆中心分属各车间，这些中心还承担着即将问世的产品的实验开发工作，因此这些生产、成形、装配中心每天可利用的总时间各自不可以超过2400分钟、2000分钟和3000分钟。
现在有两个我们需要考虑的因素：
一、工厂每天的生产计划应如何安排可以适合现在的生产条件；
二、分析当前资源的利用情况并说明资源投入变化时产生的影响；
二、模型建立
该问题采用的一般线性规划模型为：
max z=CX
AX=b
X>=0
下面对具体问题的模型进行深化：
问题一.
设A,B,C,D四种金属罐每天的计划生产量为xj，j=1,2,3,4。
其线性规划模型为：
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问题二
⑴线性规划的LINGO程序的运行结果中，Slack or Surplus 代表的是若线性规划取得最优解时，松弛变量或剩余变量表示的值。
在剩余或松弛变量（xn+i）的值等于0时，此时不等式约束中的等号成立，称这个约束为“紧约束”或有效约束。也就是说，改动此时约束的值会影响到最优解的值。若松弛变量或剩余变量严格大于0，此时这个约束可以看成“松的”，也就是说，在一定的范围内改动约束的某些值，并不影响最优解的值。
⑵在线性规划的LINGO程序的运行结果中，Dual Price（对偶价格）就是影子价格，它有明显的经济含义。它根本上是对偶问题的可行解。
因此，yi是右端项bi改变量的变化量，也就是说，yi是当bi增加1时的改变值。因此，Dual Price的意义为：在最优解的条件下，当“资源”单位增加一个时，造成的“效益”增加。
⑶利用LINGO程序得出的灵敏度分析报告中，Righthand Side Ranges表示右端项的变化范围，其中Row表示行，即对应的约束；Current RHS表示当前右端项，即b的值；Allowable Increase表示允许增大的上限，即△b的上界；Allowable Decrease表示允许减小的上限，它取负号是△b的下界。
三、问题求解
求解问题一：
用线性规划模型求解，编写LINGO程序，根据求解结果知，每天生产A金属罐400件，生产B金属罐0件，生产C金属罐70件，生产D金属罐10件。每天获得的最大利润是4450元。
由此可看出，两种方法的求解结果一样。由于从问题二开始要涉及到灵敏度分析，而用对整数规划问题做灵敏度分析没有意义，所以在后的二个问题的研究办法采用线性规划模型。
求解问题二：
2.1首先分析资源的利用情况：
由问题一的最优解可知，第二个约束条件中，成型中心每天有2400-1790=610min的工时未被利用。造成了成形中心资源的浪费。
2.2下面说明资源投入变化时产生的影响：
1.看约束条件的松紧
第二个约束（Slack or Surplus的第三行）松弛变量是610，所以这个约束是“松的”，因此，改动约束的某些值并不影响最优解。如成形中心每天可利用的总时间减少在610分钟以内，最优解保持不变。也可以增加成形中心每天可利用的总时间，同样也不会影响到最优解。因此，去掉第二个约束，即没有成形中心可利用时间的限制，最优解仍保持不变。可用LINGO程序实验一下，从结果看出最优解不变，所以第二个约束为非有效约束。
另外三个约束的松弛变量值为0，也就是说，这三个约束是“紧的”，此时若改动冲压机、装配中心和喷漆中心的每天可供利用的总时间，就会改变最优解的值。
2.由影子价格，已经知道增加冲压机、装配中心和喷漆中心每天可利用的时间，都可以增加利润，但增加多少，这个问题并没有回答。下面用LINGO程序的灵敏度分析得出相应的结果：
综合其中的内容得知，当前值b1=480，△b1 的变化范围是-80<=△b1<=20，因此可以得出若最优基不变，b1允许变化的范围是(400,500)。类似地，可得b2允许变化的范围是1790到无穷，b3允许变化的范围是(1800,2400)，b4允许变化的范围是(2720,3040)。
因此，对于资源的投入，有这样的结论：每增加一分钟冲压机加工的时间，利润可增加2.5元，但只能增加20分钟的加工时间，达到500分钟。再增加冲压机的加工时间就可能达不到增加利润的效果了。同样，装配中心每天的可利用时间也只能增加400分钟，达到2400分钟；喷漆中心每天可利用的时间也只能增加40分钟，达到3040分钟。
四、总结与展望
对于这一金属罐铸造厂的分析可以清楚的看到运用运筹学的知识以及使用lingo模型的优点，可以更有效的解决现实生产中的问题，提高效率，本文从三个问题角度进行解答深刻理解了lingo软件的使用以及运筹学的知识，今对于运筹学有了更加深刻的认识。
参考文献
[1] 朱德通.《最优化模型与实验》.上海同济大学出版社，2004，03.
[2] 薛毅 ，耿美英《运筹学与实验》.电子工业出版社，2008，09.
[3] 何坚勇.《最优化方法》.电子工业出版社，2007，01.