冯莎莎
浙江省宁海县梅林初级中学
如果将解题者和数学题看作一对恋人的话，两者时常是熟悉的陌生人。尤其是数学题，解题者会经常感觉到既熟悉又陌生，而导致无从下手。本文的目的就是让学生对问题从陌生变成熟悉，而不再害怕看到这些题.
摘要：浙教版八年级上第一章《三角形的初步认识》和第二章《特殊三角形》中有些几何问题学生既陌生又熟悉，却经常无从下手.笔者以以下案例为主，通过不同的方法让学生对陌生的题目知道它的来源.将问题中的基本模型分离出来，层层递进的分析，让学生发出“哦，原来是这样”的感叹！再将问题逐步升华。从而提升学生数学的理解水平。
关键词：熟悉 三角形 全等 勾股定理
一、通过层层铺垫的问题串将陌生便熟悉
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学生根据垂直，中点这些已知条件，再根据直角三角形斜边上中点的定理，便可得证。
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图3 图4 图5
进一步的，教师继续抛出问题，引导学生探究。教师利用几何画板的动态展示将两个共直角边的直角三角形，重新组合成“两个共斜边的直角三角形”，如图6，请学生思考以下问题：
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将问题像洋葱一样层层拨开，将一道难题通过教师的引导回到最初的样子，又层层合上，让学生非常顺其自然的解决了问题，再将其升华，让这个数学问题更加饱满.以此达到学生将原本陌生的图形变成认识的模型，将无从下手的问题一点点的解决.让学生不再害怕问题.而是尝试发现问题，解决问题，增加解决实际问题的信心.
回顾与思考：问题求解既要关注问题背景给出的特殊图形的特征性质，也要关注问题背景中相应特殊图形在问题中的相对位置.在讨论问题的求解过程中，问题背景所给的图形的特征性质及其重要，如果不能很好的找到问题背景所给的图形的特征性质，问题求解所需要的条件和辅助线有可能找不到，于是在求解过程中会停滞不前.在此案例中，找到直角三角形，斜边上的中点，从而作斜边上的中线，再用直角三角形的性质定理解决问题.两条辅助线的添加是突破口.因为对两个直角三角形共直角边，再到共斜边的讨论，辅助线的形成就顺理成章了.
二、通过活用定理将问题从陌生变熟悉
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进一步的，教师继续抛出问题，引导学生探究。把较小的两个正方形纸片按图12的方式放置在最大的正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出下列哪一项的面积.
A.直角三角形的面积.
B.最大正方形的面积.
C.较小两个正方形重叠部分的面积.
D.最大正方形与直角三角形的面积和.
问题分析：由
，很容易得到阴影部分的面积等于较小两个正方形重叠的面积.
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图10 图11 图12
接下来，教师将问题进行升华，引导学生继续探究：
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进一步的，教师继续抛出问题，引导学生探究。把较小的两个等边三角形按图14的方式放置在最大的等边三角形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出下列哪一项的面积.
A.直角三角形的面积.
B.最大等边三角形的面积.
C.较小两个等边三角形重叠部分的面积.
D.最大等边三角形与直角三角形的面积和.
由图12作铺垫，学生非常容易给出结论，阴影部分的面积等于两个较小的等边三角形重叠部分的面积.
图13 图14
数学问题纷繁复杂，种类繁多，通过以直角三角形三边为正方形的边长构造正方形、等边三角形这一类模型，再将问题升华，使学生掌握从勾股定理到面积求解的一个拓展.
通过以上问题，教师可以继续向学生抛出问题： 以直角三角形的三条边为边除了向外做正方形、等边三角形，还能做什么特殊的图形，也有上面一样的结论？学生会很自然的想到等腰直角三角形，圆形等等，让学生非常活跃参与到课堂的探索里面来.教师再以学生提出的图形，再黑板上作图，进行示范，让学生按照以上步骤进行提问.
以下再以作半圆为例：
如图15，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，则
成立吗？
通过以上的计算方法，学生很容易去计算三个半圆的面积，教师则让学生在讲义上将它们练出来.
顺势用几何画板展示将两个较小的半圆放入大的半圆里面，如图16，学生马上能给出阴影部分的面积就等于两个较小半圆的重叠部分的面积.
图15 图16
这一系列由教师展示，到学生模仿，再到学生自己提出图形，根着上面一起提出问题，解决问题.就能让学生自然而然的掌握从勾股定理到图形面积关系的拓展.
回顾与思考：解题教学不能就讲题，泛泛而谈，应努力挖掘题目背后所承载的知识、技能、思想、经验，以及数学核心素养，要站在学科育人的角度设计教学活动，同时剖析学生的思维障碍，指导学生突破思维障碍.以上就将勾股定理从“直角边的平方和等于斜边的平方”延申到面积问题，转述为“分别以直角三角形两条直角边为边长的两个正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积”.那么学生再看到直角三角形和面积问题，就会联想到以上的应用，复杂的面积求解问题就不再陌生，而是熟悉的朋友了.
三、通过寻找基本模型将问题从陌生变熟悉
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问题分析：旋转之后的图形有两种情形，都非常容易用一样的方法去得到三角形全等.
图21 图22
总结：以上的图形特征就是两个等边三角形共一个顶点，从而可根据等边三角形的边长和内角存在的性质，找到一对全等三角形.
此模型一给出，再回到以上的图17，从已知条件一个等边三角形和120度这两个条件就非常容易想到应添的辅助线，辅助线的目的就是为了构造两个共一个顶点的等边三角形的模型，从而得到一对三角形全等，以达到解决问题的目的.这样，学生对图17就非常熟悉了.
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图23 图24
回顾与思考： 数学模型会助学生插上腾飞的翅膀，在数学的王国中自由翱翔！从认识模型到熟悉模型再到应用模型，学生对于原本无从下手的问题迎刃而解，增加了学习数学的兴趣.以上让学生认识共顶点时的两个等边三角形和共顶点的两个等腰直角三角形构成一对全等三角形，碰到类似问题，马上添出辅助线，解决问题.
总之，消除学生对数学中相对较难的几何问题的恐惧，就需要将复杂变简单，将陌生变熟悉，让学生一看，都知道题目的本质是什么.教师需要不断的通过各种方式帮助学生提升读题分析能力，逐步培养学生的隐性思维习惯，才能帮助学生突破学习障碍，获得成功.
参考文献：
[1]李秉德，李定仁.《教学论》.人民教育出版社，1991.
[2]黄红.浅谈高中数学概念的教学方法，广西右江民族师专学报2003.
[3]史宁中.数学思想概论（第一辑）：数量与数量关系的抽象[M].长春：东北师范大学出版社，2008.
[4]章建跃.章建跃数学教育随想录（下卷）[M].杭州:浙江教育出版社，2017.
[5]曹一鸣，陈鹏举.不同能力水平的中学生数学学习策略运用及其影响研究[J].教育研究与试验，2018（4）.
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