孙延华
新疆乌鲁木齐市第六十六中学 830054
摘要：
《课程标准》在总体目标中指出：
1、学会从数学角度提出问题、理解问题、并能综合运用所学知识技能解决问题，发展应用意识。
2、形成解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神。
问题提出：结合各地中考试卷来看，利用二次函数的知识求面积的最值问题在压轴题中比较常见，意在让学生从数学的角度理解问题，并能综合运用所学的二次函数知识和技能解决面积最值问题，发展学生的应用意识。
本文以一道中考题为例，从不同的角度思考解决问题，形成解决问题的基本策略，设计解决问题的具体办法．
题目： 如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．
解答 ：（1）利用待定系数法可得抛物线解析式为：
y＝－x2－2x＋3；
（2）根据数学公理“两点之间线段最短”，可连接BC交对称轴于点Q，求得
Q(－1，2)；
下面重点探讨第(3)小题中面积最大值的几种解题方法．
解法一：利用公式直接计算
如图2，由于△PBC的任何一条边都不在坐标轴上，所以直接应用底×高÷2求三角形的面积时，可以考虑将BC作为底，点P到BC的距离作为高，根据两点间距离公式可求得：
根据点到直线的距离公式可求得点P到直线BC的距离：
易求得直线BC的解析式为：y=x+3
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这种方法思路简单，但是计算繁琐，容易出错，还要用到点到直线的距离公式，学生储备的知识可能不够用，对于学有余力的学生比较适合。
解法二：补形法
对于三角形面积还可以利用补形法思想间接求得，将三角形补充到四边形OCPB里，容易求得四边形的面积，再用四边形的面积减去BOC的面积得△PBC面积，曲线救国。
如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3<x<0)．
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解法三 ：分割法
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解法四：平行切线法
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以上四种方法，利用数形结合的思想、转化思想，或巧妙将图形进行分解、组合，或将面积最大的问题转化为点到直线最大距离问题，综合运用了三角函数知识、二次函数和二元一次饭方程的关系、两点间的距离公式、点到直线的距离公式，解题关键是找到图形的关联，如此深入挖掘一道题的多种解法，可使我们通过总结一道题的多种解法解决一类问题，提高学习质量，为突破中考难点做好准备。