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文化视角下数学概念的“玩”法

发表时间：2020/12/8 来源：《基础教育课程》2020年8月作者：刘云卢涛

[导读] 数学概念是反映现实世界的数量关系和空间形式本质属性的思维方式，是数学知识结构的基本构成元素，也是数学推理与数学论证的基础。通过概念教学，使学生了解概念形成背后的人文活动，认识和理解概念本质属性及其应用，并通过这一系列的认知过程，提升学生数学抽象核心素养是数学教育的任务之一。

四川省都江堰中学刘云卢涛

        数学概念是反映现实世界的数量关系和空间形式本质属性的思维方式，是数学知识结构的基本构成元素，也是数学推理与数学论证的基础。通过概念教学，使学生了解概念形成背后的人文活动认识和理解概念本质属性及其应用，并通过这一系列的认知过程，提升学生数学抽象核心素养是数学教育的任务之一。但观目前的概念教学普遍存在“四重四轻”的现象[1]，完全忽视了概念的文化性和概念教学过程中的文化育人的功能“数学根本上是玩概念的不是玩技巧。技巧不足道也!”（李邦河院士）。概念有什么可以玩的？概念教与学又该怎么玩？
        一．玩出数学概念的文化内涵
        任何一个概念（不仅仅是数学概念）都有自己的“故事”，只是“故事”从不同的角度反映出不同的内涵，这就是数学概念的文化元素。
        （一）数学概念的历史背景
        一个概念的产生、形成、发展、丰富和完善必有其历史背景与文化理解的漫长过程，有些概念的产生是“顺理成章”，如矩形的概念；有些概念的产生却“几经周折”如函数的概念从格雷哥里的解析式定义（1667）到20世纪中叶的函数的现代定义为止,前后经历经历了七次发展,历经300年的坎坷征程，其间很多数学家为这些概念的产生、发展的过程中提出过建设性的观点,甚至出现不同观点的激烈交锋:有些概念的产生则“石破惊天”比如无理数的发现、虚数的产生。这些概念背后的“故事”无不闪耀智慧的光芒！
        （二）数学概念蕴含的文化元素
        概念的定义就是对概念所指对象基本性质的概括（性质特征）；依据概念的内涵，人们便能判断某一对象是否属于概念外延的集合（判断特征），这就是数学概念的“二重性”。判定特征有助于厘清概念的外延，性质特征有助于认识概念的内涵．概念的“二重性”反映了概念内在辩证关系，其地位也是对称的。
        从概念的定义方式上看，概念有原始概念与可定义的概念之分。可定义的概念根据不同的定义方式，有的概念具有过程性特征（如导数），反映了运算过程或几何操作过程，具有方法的指导性；有些概念具有关系性特征（如异面直线），反映了两个对象的相互关系，具有关联性、对称性；还有些概念描述了数学对象的形态，从形态上规定概念的属性特征。

反映了概念内涵的丰富性、认识概念的深刻性、理解概念的多维性、问题解决的灵活性等，这些无不数学文化的内核所在。
        数学概念不是孤立的，定义一个新概念要用到许多旧概念，即数学概念之间是相互联系的。因此，概念之间的关系也是概念文化元素的重要内容，厘清概念之间的关系有助于概念的教与学。
        二．玩清数学概念的认知心理
       概念形成与概念同化是概念获得的两种基本方式。从大量的同类事物的不同例证中独立发现，这种概念获得的方式叫做概念形成。用定义的方式向学生直接揭示,学生利用已有认知结构中的有关知识来理解新概念，这种获得概念的方式叫做概念同化。不同概念获得的方式，其心理机制是不同的。
        （一）概念形成的心理机制
        概念形成过程实质上是从大量的同类事物的不同例证中抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程。一般说来，如果所学的新概念与学生原有概念或在其认知结构中的联系紧密度不高、关联度不大的，即作为“固着点”的已有知识往往很少或者不具备的情况下，用概念形成的方式来进行概念的学习是理想的选择。
        认识源于主客体之间的相互作用过程中的一系列心理活动。从概念学习的角度看当主体接受到感知材料刺激后，就会从心理上开始感知，形成对感知材料的一种表面印象（表象），接着会在大脑中开始检索没有没与之相同或相似的经验（或感知）。如果有这样的经验，它会进一步进行两种思维活动：一是将已有的经验进行分类，二是将新经验进行归类。随之将这两种经验分辨、整合，形成概念意象——概念的雏形。再在此基础上，再去寻找具体化的模型、实例，支撑刚刚形成的概念意象，而应先建立起指向明确“思维对象”，再把这些“思维对象”，提炼、概括其本质属性，进而形成概念。最后，通过符号化、图像化使概念达到简约、直观的形式，以便于应用。在形成表象之后，如果大脑中没有与表象相同或相似的经验，那么就意味着概念形成的终止。此时，如果没有外界强有力的刺激或帮助，要形成概念是十分困难的。概念形成的方式获得概念的心理过程如图1：

        （二）概念同化的心理机制
        同化是指个体把外部刺激所提供的信息整合到原有认知结构的过程，促进认知结构量上的扩展。学生原有概念是否清晰、科学，原有认知结构是否稳固对新概念的学习具有直接的影响。概念同化的方式获得概念的大体要经历如下的心理过程：
        首先，通过感知提取出新概念的部分属性，然后与原有概念比较，从中找到与新概念相似或相关联的知识，提取出新概念的“固着点”。其次，将新概念置入到认知结构的合适位置上去，与原有观念建立相应的联系，找到新概念的“生长点”，临时编码、短时记忆。再次，将“生长点”回归原有认知结构，与原有结构发生联系，并进行比较、分析、筛选、提取出新概念的一些本质属性。随后将提取出的本质属性，回到原有经验系统系统中，在与教师、同伴的交流互动中通过解释、类比、演绎等方式，揭示概念的关键属性，给出定义、名称和符号；通过分类、举正（反）例、辨析、变式、应用等方式初步同化概念。最后，把初步同化的新概念纳入到已有概念体系中，使原有认知结构不断分化、重组，变得更加完整和丰富，彻底同化新概念。概念同化的方式获得概念的心理过程如图2：

        三．玩好数学概念的教学策略
        建构主义认为，新知识的学习是以已有知识经验为基础的一个主动的意义建构过程。“已有知识经验”包括原有的概念、原有的认知结构、认知方式以及在认知的过程中所形成的认知能力。如何利用已有的知识经验，并结合概念学习的心理机制进行有效的概念教学呢？
        1．分析原有概念，了解原有认知结构
        有意义学习的条件之一是学习者的认知结构中必须有同化新知识的原有的适当观念。由于数学概念的抽象性、概括性、精确性的特点，迫切需要以日常概念的具体性、特殊性和操作性成分做依托，以便能分化它的理论侧面，使之借助学生的具体经验事实或日常概念，变得容易理解。因此，在进行数学概念教学时，首先应当了解、正视学生已有的日常概念，积极利用日常概念，发挥日常概念的经验性、浅显性和通俗性的特点，并以此为起点，对日常概念的增加、调整，使日常概念转变成科学的数学概念。通过适当的教学手段帮助学生建构那些缺少的观念，明晰那些模糊的观念，强化其稳定性，充分利用已有知识和经验，在教学过程中监控学生的概念转化，就能促进学生的概念学习．
        2．创设良好的问题情境，引发认知冲突
        认知冲突是指认知主体已有认知结构与新知识或新情境之间不能兼容，或不同认知主体对某一问题存在不同看法的现象。前者称为主体内认知冲突，后者称为主体间认知冲突。有意义学习的条件之二是学习者必须具有有意义学习的心向。有些问题，在学生看来已是显然的事实，但要追根溯源，却说不清、道不明；有些问题，在学生看来，根本不可能，却又是正确的。这样的问题极容易引起学生强烈的认知冲突，激起学生的求知欲和探索心向。
        3．重视整体性教学，构建概念域（系）
        从概念自身内涵来看，对每一个具体概念，其所有等价定义构成了它的概念域。这些等价定义之间存在逻辑等价关系。只有学生认识到概念的各种等价特征，才能说明他明确了该概念的内涵。从概念之间的关系看，数学概念具有广泛的联系，这种联系既包括概念与其背景的联系，也包括概念之间的联系；它既有纵向的联系，也有横向的联系。只有学生厘清概念之间的关系，具备一定的概念体系，才能说明他明确了这个概念的外延。
        运用已有知识经验建构新概念的过程，在本质上就是不断丰富和建立新的认知结构，形成纵横交错、联系丰富的概念网络，就是将一个新概念纳入已有的概念网络，或者由于新概念的进入与原有观念中的错误概念的冲突而引起概念网络的重组或重构，从而组织成一个联系更为合理、观念更为恰当的新网络。将一个新概念纳入已有认知结构，其与概念网络中结点的联系越为丰富且为多层级间的联系，反映主体对其理解就越为全面和深刻。
        总之，只有新概念与头脑中原有概念组织良好的概念网络建立稳定、灵活、丰富的联系之后，才能真正获得新概念。随着学习的不断深入，新概念的概念域、概念系也会不断地丰富完善，进而融会贯通，形成完整的概念系统。
【参考文献】
[1]刘云，数学文化融入课堂的原则与方法[J]，教学与研究，2020.06，第113页.
[2] 邵光华、章建跃，数学概念的分类、特征及其教学探讨[J]，课程·教材·教法，2009.07：47-51.
本文系华东师范大学“国培计划”中小学名师领航首期基地班立项课题《高中数学文化融入课堂的实践研究》（课题批准号：2018GP01—M11）阶段性成果之一。