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文化视角下“两角差的余弦公式”教学设计

发表时间：2020/12/8 来源：《基础教育课程》2020年8月作者：范雪莲赵明

[导读] 在公式、定理课中，数学文化因子无处不在。

四川省都江堰中学范雪莲赵明

摘要：在公式、定理课中，数学文化因子无处不在。数学故事能激发学生学习兴趣，磨砺学生的意志品质；数学史会引导学生自主发现知识的产生来源，自主学习；公式、定理的推导、证明过程有助于学生提炼数学思想，多角度思考问题；公式、定理的灵活应用，揭示数学来源于生活，用于生活、生产及其他学科。本文以“两角差的余弦公式”为例说明数学文化在公式、定理课的教学设计中的作用和表现方式。
关键词：两角差的余弦公式；教学设计；数学文化
        “两角差的余弦公式”选自人教A版必修4第三章第一节内容。
        两角差的余弦公式在整个三角函数变换一章的基础公式，它是两角和的余弦公式、两角和、差的正弦公式、正切公式推导的基础；其次作为一个基本公式，其来源中蕴藏着深厚的数学文化知识（学习的必要性，证明的多样性、严谨性，应用的广泛性等），也体现了转化与化归思想，数形结合思想、分类讨论思想等。
        尽管之前学生在学习诱导公式和同角三角函数的基本关系积累了一定的三角变形的经验，但本公式及其证明的复杂性，远胜前者，对学生的挑战性很大。考虑到高一学生受初中公式的学习的影响，重视公式的记忆和运用，不重视公式来源、不重视推证思路的探索的实际。基于数学文化融入课堂的原则，两角差的余弦公式的教学设计总体思路如下：
        1、课例引入分析。一是选择实例，从实例中抽象出数学模型，引出问题恒成立吗？然后用数学特殊角验证，说明其不成立，激发学生的好奇心——寻找与哪些量有关:二是从三角学奠基人托勒密为了测量的简化希望制作一张弦表寻找与的关系。本文选择方法一，由特殊到一般，将知识用于实际更符合高一学生的认知。
        2、公式证明分析。两角差的余弦公式证明的方法非常多，例如三角函数线法、托勒密定理证法、向量政法等，通过对这些方法以及公式、定理课的设计内容和方法的分析,托勒密定理的证明对学生难度大，故可以通过史料的形式给有余力的学生自学，三角函数线的方法可以渗透数形结合思想，并锻炼学生的数学严谨性且难度不大，应该保留，向量方法简洁且方法具有一般性，也应该保留，故本节课在课堂上将介绍这两种证明方法，其余的方法以阅读与欣赏的方式推送给学生。一种是借助特殊角找出与其相关的量，然后再用三角函数线进行严格证明；二是借助向量的夹角进行证明。但是两种方法都有难度，在第一种方法中难点是角的推广和将三角函数值与三角函数线联系起来，在第二种方法中难度是两角差是任意的，而向量的夹角是，两者并不等价，怎样把两者联系起来是很多同学容易忽略的地方。
       3、公式应用部分：首先对公式从结构上进行辨认，即,强调“两角”展开后需要的量及符号的变化；其次就是公式的正用、逆用、变形使用的训练，通过角诱导公式进行度变换，符号变换，实现公式的基本运用，通过给角求值、给值求值、给值求角实现高级运用；第三是通过思考“用两角差的余弦公式能否推导出两角和的余弦公式、两角和差的正弦公式”启迪学生通过自主思考，合作学习完成后续学习内容。
        本节内容的重点：两种方法推导两角差的余弦公式，重点在于向量法；分析公式的特征及正确应用公式；难点是角的推广和分类讨论，应用公式求值、求角。为了突出重点，突破难点，我们将本节课分为两个课时，第一课时重点在于引导学生思考公式的生成，并在学习公式生成的过程中体会数学文化的博大精深和渗透数学思想方法[1]；第二课时重点在于公式特征的掌握以及对公式的正用、逆用、变形使用。
        我们期望通过上述的总体思路设计，达成以下教学目标：
        （1）借助单位圆，运用猜测、三角函数线、向量等方法推导两角差的余弦公式；
        （2）能够使用两角差的余弦公式求特殊角的余弦值和差角的余弦值，基本掌握给角求值、给值求值和给值求角的方法；
        （3）让学生感受数学知识的相互联系，培养逻辑推理的思维能力，树立创新意识和应用意识，提高数学素质。
       通过以上教学设计思路的思考，两角差的余弦公式教学需要2-3节课完成，第一课时的教学设计如下：

            （设计意图：巩固本节知识内容，为后续学习作下铺垫。）
        我们将上述设计，投放到课堂检验，基本达到预期目的，现反思如下：
        本内容的教学结果与教学目标及教学的重难点非常契合，学生公式的寻找及证明过程中用到了特殊到一般的思想、数形结合思想、划归与转化思想。两角差的余弦公式是非常重要的公式，历史上，柯西和柯切尼可夫对此都有证明[2]，但是在教学时对背景并未详细介绍，让背景仅仅是背景，而把教学的重点放在问题本身和学生的认知水平上。这样处理既符合数学文化融入课堂的基本原则,又将公式、定理课的设计核心——强调本质、尊重学生、重过程、促合作体现了出来。
        在学习完两角和差的正弦、余弦公式后，会进一步对公式的本质及应用进行整合方便学生系统掌握这部分内容。
参考文献
[1]蒋永鸿.例谈数学公式、定理课的教学设计.[J]数学教学研究，2008
[2]徐红星.高中数学课堂体现数学文化价值的行动研究.[J]华东师范大学硕士论文，2011
本文系华东师范大学“国培计划”中小学名师领航首期基地班立项课题《高中数学文化融入课堂的实践研究》（课题批准号：2018GP01—M11）阶段性成果之一。