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文化视角下公式、定理教学设计的思路、内容和方法

发表时间：2020/12/8 来源：《基础教育课程》2020年8月作者：赵明范雪莲

[导读] 数学公式和定理揭示的是数学的基本规律，抽象性和概括性是它的特征，透彻的理解公式、定理，有助于发展学生的认知水平，提升学生的数学能力。

四川省都江堰中学赵明范雪莲

摘要：数学公式和定理揭示的是数学的基本规律，抽象性和概括性是它的特征，透彻的理解公式、定理，有助于发展学生的认知水平，提升学生的数学能力。教学中借助数学文化能让数学公式、定理更加鲜活。公式定理的教学设计要遵循学生的认知水平和学习习惯，要重视重现知识的生成过程，要注重渗透数学思想方法。同时，教学设计要帮助学生准确的用数学语言表达公式、定理的内容，帮助学生掌握推导和证明的方法，理清条件和结论之间的关系，要帮助学生明确公式、定理的适用范围，要对公式、定理进行适当的引申和推广。
关键词：数学公式定理课；教学设计；生成过程
        布鲁纳说：探索是数学教学的生命线。探索对教学、对学生如此重要，要有的放矢、循序渐进的培养学生发现问题、解决问题、应用问题的能力，数学公式、定理的教学无疑提供了很好的载体。教师在公式、定理的教学中，要有意识的引入数学文化知识，让学生对知识产生的情境，生成的过程，应用的范畴深入理解，有助于培养学生的数学抽象思维[1]。
        一、文化视角下数学公式、定理课教学设计的原则
        1.相关性原则。每一个公式、定理的产生，可能都经历了漫长的岁月，不断的优化，在这个过程中，它一般不具有系统性，是繁杂无序的，如果教学时教师不进行选择和加工，将无关的或者关联性不大的数学文化强搬硬套，不仅达不到教学的目标，还浪费宝贵的教学时间。
        2.适度性原则。新课标要求以人为本，实现学生的主体地位。教学时要因材施教，充分了解学情，由浅入深，层层递进。不能为了突出“高、大、上”，而一味地求全、求深、求难。
        3.趣味性原则。公式、定理教学中引入有趣的数学方法或数学故事，有助于提高学生的学习兴趣，加强学生对公式、定理的理解，加深对公式、定理的记忆、应用。例如，以高斯算法引出等差数列前项和公式的课题，并以此为基础完成差数列前项和公式的探究，再以此作为差数列前项和公式的记忆母本都是切合实际的做法。
        4.应用性原则。数学作为一门工具性学科，其影响之大，应用之广已成共识。但高中生对社会生产实际的认识却很粗浅，因此课堂教学中可以有意识的将生活实际作为教学背景，让学生认识到数学是有用的，例如，以计算利息为背景引导学生学习等比数列前项和公式是可行的。
        5.思想性原则。引入数学史，介绍数学家故事不仅仅是增加学习的趣味性，更要挖掘知识背后蕴含的数学思想方法，最终提升学生的学习能力，提高学生的逻辑推理、直观想象、数据分析、数学建模等核心素养。
        二．文化视角下数学公式、定理课教学设计的思路
        公式、定理的教学既要重视外显的知识教学，让学生理解公式、定理本身的内涵及其应用，又要重视内隐的思想方法，注重发展学生的数学抽象、逻辑推理，演绎证明等能力的培养。
        1.教学设计要帮助学生准确的用数学语言表达公式、定理的内容。数学定理通常用自然语言表示的，教学时，要引导学生用符号语言、图象语言简洁、直观表达定理，更要帮助学生建立三种语言之间的联系；对于公式，要引导学生掌握公式的结构特征。
        2.教学设计要帮助学生掌握推导和证明的方法。公式的推导方法，定理的证明过程有助于培养学生的逻辑性、严谨性，激发学生的再创造意识，有助于帮助学生深入理解公式和定理，有助于数学思想方法的积累，更有助于磨砺学生的意志品质。
        3.教学设计要帮助学生分析条件和结论间的关系。教师可以以问题串的形式层层递进分析条件与结论的关系，以反例、图象等帮助学生理解条件的必要性。例如学生在学习线面垂直时要用反例说明“相交”这一条件的重要性。
        4.教学设计要帮助学生明确公式、定理的适用范围。任何公式、定理都有适用的范围。学生容易混用，例如等差数列的通项公式，前项和公式的使用前提是“等差数列”，但有的同学不管前提就用。又如零点存在性定理只能判断零点存在，但不能说明零点不存在，零点有几个的问题。
       5.教学设计要对公式、定理进行适当的引申和推广。公式、定理的推广和引申，会帮助学生辩证的看待条件和结论的关系。定理的学习可以引导学生思考逆定理是否成立,增加或者改变条件会得到怎样的结果等。

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        三．文化视角下数学公式、定理课教学设计的内容
        公式、定理的教学通常包含引入、论证、强调、应用、整合等几个内容[2]，不同方面的内容我们需要注重的东西不同。
        1.多样化引入公式、定理，激发学生学习欲望。公式、定理的引入是发展学生思维，培养学生探索能力的首要内容。教师通过数学史料，激发学生学习兴趣；数学家故事等的介绍，培养学生吃苦耐劳，勇于拼搏的精神[3]；通过精心设计的问题情境，重现公式、定理的发现过程；通过类比相关或相近命题，诱导学生触类旁通。
        2.精细化推导、证明公式和定理，提炼数学思想方法。公式的推导，定理的证明，是公式定理课的核心。学生参与推导公式，证明定理的过程，能使其深度理解公式、定理。一方面能帮助其更快的记忆公式、应用公式、定理，另一方面可以学生可以提炼数学思想方法，推动学生抽象思维的发展；还可以请同学们结合自己所学知识寻找其他方法或者简化过程。
        3.重点强调公式、定理的条件与特例，培养学生严谨性与逻辑性。高中数学公式和定理理解的难点在于不同条件，结论不同。教学时要引导学生发现公式或定理成立的条件，讨论改变条件或者增减条件，结论的变化，即我们通常所说的定理的推论。通过这些方式使教学内容更加丰富生动，进而培养学生的逻辑思维与严谨性。
        4.注重公式、定理的灵活应用，提高学生的学习能力。学习公式和定理，除了要注重知识的生成过程外，还要注意公式的正用、逆用及变形使用，注意定理的使用条件，使用范围及应用规律。应用是数学教学的目的。
        5.整合公式、定理脉络，帮助学习形成知识体系。教学内容还应包含公式、定理的系统化教学。教师要引导学生回顾推导过程中使用的数学思想方法，公式、定理的推广和引申，并教会学生比较相近的公式、定理；鉴别不同背景下的数学模型。
        四．文化视角下数学公式、定理课教学设计的方法
        公式、定理课教学设计应在学生认知的基础上，以学生参与公式、定理的推导过程为主，以渗透数学思想方法为核心，以提升学生的应用水平和学科素养为目的，做切合实际的教学设计。针对公式、定理教学的各个环节，教学设计主要有灵活使用以下几种的方法：
        1．公式、定理的引入时，有两种选择方式：一是直接给出公式定理，然后采用叙事的方式让学生了解公式、定理的背景，产生的动因、发展的过程、对数学（社会）发展的作用,激起学生的兴趣，激发学生的好奇心，调动学习主动性；二是以依托公式、定理产生的背景问题，让学生归纳、猜想、提炼出公式、定理，其间采用夹叙夹议的方式介绍公式、定理发展历史。
        2．在公式、定理证明阶段，常常采用“探究-合作-交流”的方式，其间注意使用历史上数学家的不同推证方法来鼓励、评价学生：如果学生能用历史上数学家推证的方法,我们要及时点出这是××数学家的证明；如果学生使用了不同于历史上数学家的方法，我们更好及时表扬和肯定。如果学生的推证方法不能涵盖历史上数学家推证的方法，此时我们介绍历史上不同的推证方法，让学生欣赏数学家的智慧，评析证法的优劣；或作适当的铺垫，引导学生继续沿着数学家的思路走下去[4]。
       3．在公式、定理认识阶段，通过对定理的条件与结论之间的因果分析，结合自然语言、符号语言、图形语言之间转换，以及定理的等价形式的分析，让学生认识定理内在的和谐；通过公式结构、公式中诸要素地位等方面的分析，让学生体验数学的美学意义与价值。
        4.在公式、定理应用阶段，除了直接从知识角度巩固与应用外，尽可能地选取与生活实际、相关学科、生产实际等有关的问题，凸显数学的应用价值。
        总的来说，要让数学文化的渗透在公式定理课中起到良好的教学效果，在教学设计上需要注意三个维度：一是教师要基于数学文化创设问题情境，启发学生的思维，二是教师要基于数学文化设计层层递进的问题串，激励学生探索，三是教师要基于数学文化总结、提炼相应数学模型，培养学生的应用意识。
参考文献
[1]赵卫国，高中数学公式与定理“五部曲”[J]，中学数学研究，2011
[2]李正海，数学史融入高中数学问题解决教学的探讨[J]，数学方法，2019
[3]沈西德. 数学文化融入课堂的原则与方法[J]，教学与研究，2020（06）。
本文系华东师范大学“国培计划”中小学名师领航首期基地班立项课题《高中数学文化融入课堂的实践研究》（课题批准号：2018GP01—M11）阶段性成果之一。