四川省都江堰中学 卢涛 刘云
三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在其它学科领域也有着广泛的应用.任意角的三角函数是函数的下位概念，它建立在《数学1》中函数概念的基础上，是对锐角三角函数概念的扩张.
锐角三角函数的概念源于圆内的弧所对应的弦（或半弦）的长，后发展为在直角三角形下的定义,定义侧重从几何的角度定义的，在直角三角形中得到角与边的比值之间的确定关系；而引入任意角三角函数的概念，是为了研究周期变化现象，定义侧重于从代数的角度，以单位圆为工具,得到角和其终边与单位圆交点坐标的确定关系.在弧度制下，是数集到数集的映射。
尽管从公元前3500年的古埃及的原始三角学开始，特别是从三角学兴起的标志性人物希帕霍斯(Hipparchus,约公元前180～前125）到18世纪欧拉建立现代三角函数的定义经历了漫长的岁月，但历史的发展与学生已有认知体系具有高度的契合性，因此，我们设计的思路是以历史为路径，参照数学家思维的方式来展开。采用“引”“探”相结合的方式，以“问题串”为主线，激发“愤悱”认知状态；以“探究、合作、交流”营造全员参与、合作交流的的氛围；以现代教育技术提供形象生动、直观感知的教学场景，以期达到如下教学目标：
知识与技能目标：（1）借助单位圆让学生认识和理解任意角的三角函数的定义；（2）能根据定义判定三角函数的符号；（3）在新知识的探究，提升分析解决问题的能力和理性思维的能力.
过程与方法目标：（1）让学生发现角概念推广后，初中的锐角三角函数定义的局限性，寻求其它方式定义的必然性；（2）领悟坐标定义的优越性，加深对函数概念的理解；（3）从历史发展过程体会由特殊到一般的思想.
情感态度与价值观目标：（1）在运动变化的过程中认识知识的发生和发展，体会知识之间的内在联系，感悟知识的整体性；（2）通过小组合作交流，倡导学生主动参与课堂，培养学生团队合作的意识；（3）理解公式一，进一步感知三角函数的周期性特点.
教学过程设计：
（一）历史介绍，叙事导入
教师旁白1：三角知识起源于远古的天文、测量等实际需要。成书于约公元前1650年《莱因德纸草书》汇集了古埃及公元前3500年以来的主要数学成果，其中第56～60题的内容涉及三角学知识。从公元前3500的古埃及的原始三角学开始，到18世纪欧拉之前的漫长岁月中，尽管在无数数学家共同的努力下三角学得到了巨大发展，但非常遗憾的是自始至终都没有出现三角函数完备的定义。本节课，我们追寻历史的足迹，穿越数千年时光，概览三角函数的发展历程！
教师旁白2：在16世纪以前，三角函数的研究大都在一个确定半径的圆内进行。
ppt展示1：古希腊托勒密在半径为60的圆内，将弦的长叫做（劣）弧的正弦。如图1。
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ppt展示2：公元5世纪，印度最早出现的三角学著作《毗坛摩诃悉昙多》中，给出了一张“半弦”表。将图1中线段，叫做弧的正弦。这种定义逐渐推广开来，直到16世纪。其间，余弦、正切、余切、正割、余割等三角函数也相继出现，也得出了很多三角函数的公式，随着研究方法的不断改进，三角函数值的精度也不断提高。
（二）创新突破，问题切入
ppt展示3： 16世纪，意大利数学家利提克斯（G.J.Rhaticus,1514～1576？）他一改过去用弧与弦来讨论三角函数。不把称为弧的正弦，而是把称为的正弦。因为弧的度数等于圆心角（即）的度数，这样定义，使正弦值直接与角挂钩，而使圆成为从属地位了。他用直角三角形()斜边与对边的比来定义正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六种三角函数，这是三角函数一次突破性的发展。
【问题1】在初中所学的三角函数，就是利提克斯的方法，在中角为直。如图2。那么 .png)
它们的自变量是什么？又以什么为函数值呢？自变量的范围是什么？
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(设计意图：从学生现有认知状况开始，因此对锐角三角函数的复习是必不可少的.将锐角三角函数融入学生已有的函数知识结构中，容易为学生建立起任意角的三角函数获取心理逻辑的自然.)
【问题2】随着角的概念的推广和弧度制的引入，角的范围变成了全体实数，那么对于任意角，比如当为钝角时，角的“斜边”这种说法还存在吗？那么任意角的三角函数该如何定义呢？（设计意图：利用角的变化作为思维的切入点，打破学生已有的认知结构的平衡，感受学习新知识的必要性，即角的范围扩大了，初中锐角三角函数的定义也应该与时俱进，这有利于将探究的主动权交给学生.）
（三）以旧创新，完美定义
在角的推广过程中，我们已经知道，将角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几象限，角的终边就是第几象限的角。
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（设计意图：把锐角放在直角坐标系下对学生来说比较简单，构造直角三角形也是一目了然的，这样可以把复习的初中的锐角三角函数的定义纳入直角坐标系，将边长的比变成坐标关系，为任意角的三角函数定义的给出做好铺垫.将直角三角形下三角函数定义中的“始边”、“终边”改为坐标，也是为了概念一般化做铺垫.）
教师旁白3：18世纪，瑞士数学家欧拉（Euler，1707～1783）把问题3中的锐角推广到对任意角的情形，他在著作《无穷小分析引论》中，提出三角函数是对应的函数线与圆半径的比值。从而得到任意角的三角函数的定义：
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【问题4】在问题3中，如果点位置发生变化，角的正弦值会发生变化吗？（设计意图：问正弦值这一种情况，方便师生研究.余弦值和正切值可以类比得到，更方便学生理解（下面有类似问法也是同样考虑）；由三角形相似，说明在终边上任意取点不影响三角函数值. 这是为单位圆定义的提出做好铺垫.）
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设计意图：判断三角函数值的正负符号，是本节课的教学目标之一，引导学生抓住定义、数形结合判断三角函数值的正负符号，同时应用终边相同的角的同一三角函数值是相等的这一结论.
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（五）课堂小结,升华提高
知识与技能：任意角三角函数的定义（单位圆）；能根据定义判定三角函数的符号；公式一（终边相同的角的同一三角函数值相等）即三角函数的周期性特点.
思想与方法：坐标法、特殊到一般、数形结合、类比、转化、分类讨论.
设计意图：让学生自己总结，教师补充，并且提醒学生知识重要，探究的思想与方法更重要，体现了教学应以学生为主体，教师为主导的新课标理念.
（六）作业布置：
1、课本15页练习2、3、5.
2、假设角的顶点是直角坐标系的原点，始边与轴的非负半轴重合，已知角终边上任一点，求角的正弦、余弦和正切函数值.
3、通过本节课学习，你对任意角三角函数有哪些新的认识？利用定义你能解决哪些问题？你还有哪些不明白的地方？请把它写下来.
设计意图：体现作业的多样性，鼓励学有余力的同学课后探究，因材施教，多元发展.
通过对回顾初中锐角三角函数定义过渡到对任意角的三角函数的下定义，符合数学家对三角函数的研究史，也能准确找到学生的最近发展区，适应学生的思维需要。使数学平易近人，富有温度，不再 “冰冷”。
本文系华东师范大学“国培计划”中小学名师领航首期基地班立项课题《高中数学文化融入课堂的实践研究》（课题批准号：2018GP01—M11）阶段性成果之一