陈庭旺
(湖北省潜江市园林高级中学 湖北 潜江433100)
在数列学习中,含有的数列题比比皆是,但却是同学们容易出错甚至觉得很困难的地方,无从下手,其实同学们都知道的作用,数列的项会正负交替出现,所以这种类型的题一般都要分奇偶讨论,下面我们从三个方面来研究高考试题,突破难点
题型一:递推式中含有求通项公式
(1)数列奇偶项分开求
例1 (2005天津卷)在数列中, 且,则=__
解:,则当为奇数时,
当为偶数时,所以数列隔项等差,所以
评析:本题重点在于通过对n的奇偶分类讨论去掉,形成隔项等差数列,利用等差数列通项公式,从而容易求出整个数列的通项公式,进而求其和
(2)数列奇偶项合并求
例2(2013年高考湖南卷(理))设为数列的前和,则 (1)_____; (2)___________.
解:(1)两式相减可得(*)所以
①当为偶数时(*)化简为所以
即(为奇数)
②当为奇数时(*)化简为,而由①知奇数时的通项公式代入可得,即(为偶数)所以所以
(2)所以,整理得(**),当为偶数时(**)化简为即(为奇数),当为奇数时(**)化简为,把奇数时的通项公式代入可得即(为偶数),所以
.
评析:本题同样通过熟知的递推式求通项公式的变形技巧,第一小问题求我们先把换走,第二小问求我们先把换走,都是利用公式,再就是利用奇偶性讨论去掉带来的困扰,然后利用奇偶项之间的相互关系,从而求出的通项公式
训练题1 (2012年新课标全国卷) 数列满足,则的前项和为 1830
2(2005江西卷)已知数列的前项和满足且求数列的通项公式.
题型二: 求含有的形式的前项和
例3 (2014·山东卷)已知等差数列的公差为2,前n项和为,且成等比数列. (1)求数列的通项公式;
(2)令求数列的前n项和
解 (1) 易求
(2)
当n为偶数时,
当n为奇数时
评析:对于含有的数列求和,都是并项求和,把两项合在一组求其通项再求和,通常是先求出偶数项的前项和,这时一个正项与一个负项刚好搭配,把两项合成一项再求和,然后再求奇数项的和,从而可以很好的利用偶数项和的结论,简化运算量
(训练题)3.(2016高考天津理数)已知是各项均为正数的等差数列,公差为,对任意的是和的等比中项.
(1)设,求证:是等差数列;
(2)设 ,求证:
题型三,含有的不等式恒成立问题
例4. (2008.湖北卷21改编).已知数列满足:且其中为实数,为正整数.
(1)试判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;
(2)设,为数列的前项和.是否存在实数,使得对任意正整数,都有?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.
(1)解:因为且所以
当此时不是等比数列:
当,由上可知,.
故当时,数列是以为首项,-为公比的等比数列.
(2)由(1)知,当不满足题目要求.
,故知,于是可得
要使对任意正整数成立,即 ① 令则
当为正奇数时, ;当为正偶数时
的最大值为,的最小值为
于是,由①式得
当时,由不存在实数满足题目要求;
当存在实数,使得对任意正整数,都有,且的取值范围是.
评析:对于含有的不等式恒成立问题,我们也要分奇偶讨论去掉,从而变成一般恒成立的题目,但是要特别注意去最值时的自变量是奇数还是偶数,容易出现代值错误而导致答案错误。
对于数列中含有的数列问题是一种常考题型,高考题屡见不鲜,而平时的模拟题,调考题更多,所以要充分的掌握其题目的特点与规律,合理分类讨论和数列项之间关系的处理技巧,从本质上理解数列的特征。