董松艳
石家庄市第二十二中学 河北省石家庄市 050031
摘要：解题教学是高中数学教师教学研究的重要内容。“五步双翼说题”引导师生关注核心素养，回归知识本源，多角度分析、多方位考查数学问题，入心有题、落笔有方、视角有形、表述有魂，有效提升解题效益。
关键词：五步双翼 研题说题 专业成长
高中数学离不开解题教学。调研发现，青年教师因对课程内容理解不足、知识本质挖掘不足、思维引导不足而造成解题教学停留在就题论题层面；高中生因缺少有效的思维切入点导致解题盲目性和随意性大。石家庄市第二十二中学成立课题组，通过“五步双翼说题”行动研究，“把题目说透”、“把思路说通”，提升教师研题解题力和教研力。
一、“五步双翼说题法”流程图
“五步双翼说题”旨在发挥师生双主体作用，多维分析、整体认知数学问题，构建研究解决数学问题的基本思维途径，促进教师专业成长、提升学生数学素养。其流程如下：
二、“五步双翼说题法”的实践与研究
五步双翼说题，将教师的教、学生的学及命题研究有机结合，促使师生从宽视角、高站位来研究题目特征、探寻解题途径。这五个环节，说题者可以灵活调整顺序。
1．教师五步说题：分为“选-研-解-思-变”等五步。
（1）选题。本环节说背景来源、知识关联，阐述题目入选理由。课题组关注高中数学核心知识及高考真题，甄选能充分体现数学思想方法应用价值的题目建立说题题库，如函数性质、数学文化专题，使知识点成体系、方法成体系；同时，关注不同层次学生的需求，将题目划分为基础组、综合组、拓展组。2019年高考全国Ⅰ卷理科数学第12题“已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E、F分别是PA、AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（ ）A.8；8.4；C.2；D.”被选入综合组，课题组的推荐语为：“球的接切是高考数学的热点问题，图难画、数难算、变化多是这类题目的特点，部分考生因空间想象、逻辑推理、转化能力或模型意识欠缺导致无从入手甚至放弃。本题聚焦三棱锥外接球，条件凝练、背景平实，入口多维、解法灵活，是一道具有较强探索价值和示范价值的好题”。
（2）研题。说题的灵魂。本环节说解法探寻、思维切点。高中生在数学学习中经常出现一听就懂、独立解题却毫无思路的困惑，根本原因是缺乏解题思维。教师的思维对学生有示范性和启发性。本环节要展示如何把握题设条件、挖掘隐含条件，如何沟通已知与未知条件，展示如何有逻辑地、有结构地多维思考，如何找准思维切入点，进而拟定解题计划。
例1.已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x)，若函数y=与函数y=f(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，...,(xm，ym)，则=（）A.0；B.m；C.2m；D.4m.本题以抽象的符号语言给出题设条件和结论，研题时课题组从四方面切入思维：①符号语言显性化：函数f(x)的图象关于点（0,1）对称；两函数有m个交点，求所有交点横、纵坐标的和；②复合函数标准化：用分离常数法将函数y=转化为y=1+，易知其对称中心亦为点（0,1）；③数形结合直观化：在同一坐标系中画出两函数示意图，则交点两两关于点（0,1）对称；④对称关系数量化：由中心对称的性质，对称的两交点横坐标互为相反数、纵坐标的和为2，故所有交点横、纵坐标的总和为0+2?=m。
例2.2019理数12题，课题组成员多维切入、多角度探寻解题思路。
思路探寻一：画出题图。线线垂直是判定线面垂直的前提。
易知正三棱锥相对棱互相垂直，将题设中线线垂直条件与正三棱锥的几何特征组合推理，可得PB⊥平面PAC，PA、PB、PC两两垂直，则三棱锥为特殊的“墙角”模型。利用“补形法”可将其外接球问题转化为伴随长方体的外接球问题。
思路探寻二：平面截球得截面圆，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，球半径R、截面圆半径r、球心距（设为OO′）构成直角三角形，满足；当r、OO′已知（或与R相关）时，上式转化为关于R的方程，运算求解可得R。这是求几何体外接球半径的基基本思路，称为“方程法”。
思路探寻三：向量既有形的特征，又有数的属性，是数形结合的重要载体。立体几何中线线、线面及面面关系，空间角、空间距离等问题常可转化为空间向量的平行、垂直、夹角或模长问题，通过向量的代数运算可得到相应的几何结论。这种方法称为“空间向量法”。
多维探索解题思路，可促进教师学科知识融会贯通能力、解题策略优选能力。
（3）解题。本环节说规范的解题步骤，完整展示各解法的解题过程，在关键环节点评书写规范、书写要点等。这是实现解题计划的过程。例2略解如下：
解一：在正三棱锥P-ABC中，PB⊥AC.由EF∥PB.EF⊥EC，得PB⊥EC，故PB⊥平面PAC，PB⊥PA，PB⊥PC，则PA⊥PC.由AB=2，得PA=，故三棱锥是棱长为的正方体的一角，其外接球直径2R=，R=，V球=.
解二：在正三棱锥P-ABC中，过点P做PO′⊥平面ABC于点O′，由AB=2，易知O′C=.设PA=2a，则EC2=3-a2，cos∠PAC=又EC2=a2+4-2?2?a?=a2+2，则a2+2=3-a2，故PA=2a=，PO′=.设三棱锥外接球半径为R,在Rt△OO′C中，易知R2=(PO′-R)2+O′C2，则R=，V球=.
解三：过点P做PO′⊥平面ABC于点O′，则O′在CF上。以O′ 为坐标原点、 为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.设PO′=2a，由=0， 得 PA=2a=由O′C=R,得=R2,故R=，V球=.
（4）思题。本环节说解后反思、方法提炼。例2中，解法一反思“隐藏巧挖掘，分散要集中；逻辑巧推理，整体研特征；嵌入大模型，补形立神功”，解法二反思“定义显神通，转化来助形；运算是基础，方程巧利用”，解法三反思“以形助数，以数辅形；位置关系向量化，数量关系坐标化”，既关注知识本源，又升华思维、反思策略，形成类题通法。
（5）变题。本环节说变式延伸、发散拓展。变背景、变条件、变结论、变方法，一题多变、多题归一，以期研一题、会一类、通一片，在变化中梳理模型、活用方法、提升能力。
2.学生五步说题：分为“思-解-写-说-悟” 等五步。指导教师推送或小组成员提交数学题目。学生首先个人解读，明确“是什么问题”“怎么解决这个问题”“有什么条件或知识可用”，然后明确问题解决的理论支撑点，梳理解题思路、书写解题过程，最后在组内或课堂上说题。五步说题，思-说审题方法，找条件关联；解-说思路探寻，谈思维切点；写-写解题过程，展书写规范；说-说注意事项，谈解题收获；悟-说变式发散，谈方法提炼。
实践证明，“说题”是一个既符合现实需求、又能展现个体经验的有价值的研究课题。近两年时间里，课题组以说题为手段，以研题为核心，精选说题内容、构建说题路径、制定评价标准，发挥集体智慧开展灵活务实的校本研究，引来高中数学教师专业成长的清泉。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M],北京：人民教育出版社，2018.01.
[2]韦永旺.基于波利亚解题思想的数学说题策略研究[M],江苏：数学之友，2018.03