邱继文
云南省昭通第一中学 657000
高考对应用数学知识处理物理问题的能力要求是“能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并能根据结果得出物理结论，必要时能用几何图形、函数图像进行表达、分析”。平面几何中的“圆”模型，既是物理中一个重要的基本运动模型，又是一个重要的解题工具与方法，解题中若能合理构建“圆模型”，能把抽象问题直观化，把复杂问题简单化，让学生易于理解和接受，下面就构建“圆模型”在物理习题中的应用分析说明。
一、动态平衡问题中的“动态平衡圆”
物体处于动态平衡，如果物体所受三个力中只有一个力恒定不变，另外两个力的大小、方向都在变，如在矢量三角形的基础上再借助圆，利用圆的一些性质就能直观求解。
例1（2017·新课标Ⅰ卷）如图1，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α
。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
解析：以重物为研究对象，受重力mg、OM绳上拉力TOM, MN上拉力TMN，缓慢拉，三个力合力始终为零，矢量三角形如图2所示，对力平移，得到图3闭合矢量三角形，因为TOM, TMN夹角不变，mg恒定，可把此矢量三角形移入一个圆中，利用“圆内同一条弦所对圆周角相等”性质构造出圆内接动态三角形，如图4，在点A逆时针变动中，MN长度（表示TMN大小）由较短逐渐变为直径，OM由竖直到水平的过程中，先从弦增大为直径再减小为弦，即TOM先变大后变小，立即获得答案AD。
例2、如图5所示，金属棒MN两端由等长的轻质绝缘细线水平悬挂，处于垂直纸面水平向里的匀强磁场中，棒中通有由M到N的恒定电流，细线中拉力不为零，两细线竖直。保持匀强磁场磁感应强度大小不变，方向缓慢地转过90°变为竖直向下，在这个过程中
A.细线向纸面外偏转，其中的拉力先增大后减小
B.细线向纸面外偏转，其中的拉力一直增大
C.细线向纸面内偏转，其中的拉力先增大后减小
D.细线向纸面内偏转，其中的拉力一直增大
解析：在匀强磁场大小不变方向缓慢转过90°变为竖直向下的过程中，导体棒所受安培力由竖直向上逐渐向内偏转，大小保持不变。开始时棒受重力、安培力和线的拉力而保持平恒。偏转后可构造一个圆，半径表示安培力大小，安培力由竖直向上逐渐向内转动中，在力的矢量三角形中很容易知拉力一直增大。
二、物体下滑过程中的“运动等时圆”
（1）、物体从竖直圆环最高点沿不同的光滑弦静止滑到下端圆周上，所用时间相等，如图8；
（2）、物体从竖直圆环圆周上不同点沿不同光滑弦静止滑到圆环最低点，所用的时间相等，如图9；
以上物体运动时间都等于沿圆的直径做自由落体的时间，称这样的圆为“等时圆”。
例3、如图10所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于圆心O点，它们处于同一竖直平面内。现有三条光滑轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为α>β>θ，现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块下滑所经时间关系（ ）
A、tAB=tCD=tEF B、tAB>tCD>tEF
C、tAB<tCD<tEF D、 tAB=tCD<tEF
解析：如图11，过中间位置的D点作OD的垂线与竖直虚线交于G点，以OG为直径作圆，可看出F点在辅助圆内，B点在辅助圆外，由等时圆结论可得tAB>tCD>tEF ，B项正确。
三、带电粒子在圆形磁场区域中运动的“磁场区域圆”
（1）、最小圆形磁场区域
例4、不计重力的带正电粒子，质量为m，电荷量为q，以与y轴成60°角的速度v0从y轴上的a点射入图中第一象限所在区域。为了使该带电粒子能从x轴上的b点以与x轴成60°角的速度射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感强度为B的匀强磁场。若此磁场垂直于纸面向外，仅分布在一个圆形区域内，试求这个圆形磁场区域的最小半径。
解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。延长两速度方向交一点，轨迹圆心必位于此角的角平分线上，以两切点间的距离为直径的圆即所求最小区域圆。粒子运动轨迹如图所示，最小磁场区域如图所示（红色圆），由几何知识容易求得磁场区域半径：
；
（2）、当磁场区域半径与轨迹圆的半径相等时，能实现“磁聚焦”和“磁扩散”。
例5、胸透原理等效如下：P是放射源，可从开口处向纸面各个方向放出某种粒子（不计重力），这些粒子最终必须全部垂直射到底片MN这一有效区域，并要求底片MN上每一地方都有粒子到达。设放射源所放出的是质量为m、电量为q的带正电的粒子，且所有的粒子速率都是v，M与放射源的出口在同一水平面，底片MN竖直放置，长为L。为了实现上述目的，我们必须在P的出口处放置一有界匀强磁场。
（1）画出所需最小有界匀强磁场的区域，并用阴影表示
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小以及最小有界匀强磁场的面积S．
解析：要想使所有的粒子都最终水平向右运动，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径必须与最小圆形有界匀强磁场的半径大小一致，所以必须有：R＝
，最小有界磁场如图所示。
根据牛顿第二定律和几何关系解得：
，磁场最小面积为：
．
参考文献：
（1）高中物理考试大纲
（2）王波.圆形有界磁场中“磁聚焦”规律的证明及应用[J].物理教学，2011.33(12) 47-49
（3）王恒荣. 圆形有界匀强磁场中的三个有用的结论.[J].中学物理教学参考.2012，41（12）48-50