田巍
山东省平度第一中学 266700
在今年的青岛高三一模试题中，解析几何题目最后一问求面积比值的最值，让笔者想到16年似曾相识的山东卷高考题。本文，以新旧两个题目作为切入例题，谈一谈面积最值问题的解题策略和其中的计算技巧。
一、例题呈现
例题1（2020青岛一模T21）已知O为坐标原点，椭圆
的左，右焦点分别为点F1 ,F2且F2又恰为抛物线
的焦点，以F1 F2为直径的圆与椭圆仅有两个公共点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线与D相交于A,B两点，记点A,B到直线
的距离分别为
。直线与C相交于E,F两点，记△OAB,△OEF的面积分别为S1,S2。
例题2(2016年山东理T21)平面直角坐标系xOy中,椭圆
的离心率是
,抛物线
的焦点F是C的一个顶点.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处
的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D,
直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
①求证:点M在定直线上;
②直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S1,△PDM的面积为S2,求的最大值及取得最大值时点P的坐标.
分析：(1)由抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点,易知b=,再由离心率可求a.
(2)设出P点坐标,表示出直线l的方程,与椭圆方程联立,可求D点坐标,表示出直线OD的方程,进而可求M点纵坐标,①得以解决;结合三角形相似和基本不等式可解决②.
【解析】(1)由题意F点的坐标为,所以
二、面积最值问题的处理策略：
1、对于三角形的处理主要分为动三角形和定三角形。
1-1：动三角形
如图所示，点P是椭圆内的一定点，直线l与椭圆相交于点A和B，则△ABP的面积模型可以采用如下构建方式．将其视为以交点弦AB为底、 以点P 为顶点的三角形，过点P作
AB的垂线，垂足为点H， 则PH就为底AB上的高， 所以
的面积可以表示为
，
其中 AB 可视为椭圆内的弦， PH 为顶点P到直线AB的距离，记为
设直线AB的方程为y=kx+m， 因此根据相关知识有：
利用该模型解题时只需要确定定长，线段PQ以及点A和B的坐标即可． 考虑到点A和B均位于曲线上，则可以考虑采用方程联立的方式，结合韦达定理来等.
例题4.已知椭圆E的标准方程为，直线l与椭圆E相交于点A和B，而以AB为直径的圆经过椭圆的右焦点C， 试求
三、弦长或面积表达后的运算技巧：
1、运用基本不等式
2、运用导数
3、还原成二次函数
四、篇后语
1、面积问题的解决策略：
（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。
（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形
2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化
3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析
4、面积最值问题主要考查设而不求思想，韦达定理，弦长公式，综合性大，对数学中的函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想和等价转化思想都有所考查。
