吴萍萍
莆田擢英中学 福建省莆田市 351100
【摘要】空间几何体在近几年的全国卷大题第二题中必会出现。而原来的全国卷的立体几何二面角的问题更为常规的解法是向量法。在2018年的福建省高考改革施行文理不分科之后，更多的专家学者提出应该淡化立体几何的向量法，回归立体几何的本源问题，提倡培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高学生的数学运算能力。因此，对立体几何的二面角问题的定义法的求解提出了更高的要求。需要学生能够利用定义来寻找二面角的平面角，并求解出二面角。
【关键字】二面角；定义法；特殊图形；三垂线法
高一数学必修二课本中前两章的内容主要是立体几何的知识。此部分内容对于大部分学生来说感觉比较抽象，很多点线面的位置关系没有办法很清晰的认识到。而其中最为让学生头疼的当数二面角问题。此问题的难点不仅在于如何找到二面角对应的平面角，更在于找到后如何计算出所需要的二面角的大小。因此，本文主要通过系统、全方位的调查、研究，找到学生的学困点，并研究出可以帮助学生快速、准确的找到二面角的若干有效方法。
人教A版数学必修二课本中关于二面角的定义为：在二面角的棱上取点O，以点O为垂足，分别在两个半平面内做垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的角叫做二面角的平面角。
一、一般性思维：定义法直接找到二面角
关注二面角定义可以发现：在寻找空间几何体的两个半平面的二面角的时候如果可以直接找到同时垂直于公共棱并且同一垂足的两条射线，就可以直接构建二面角的平面角，借助解三角形就可以突破此类型的二面角问题。
例1：棱锥P-ABCD的底面ABCD是正形形，PA⊥平面ABCD,PA=AD,O为AC中点，求二面角P-CD-B的大小。
解题思路：二面角的定义为：两个半平面分别向公共棱引垂线，两条垂线所成的角即为二面角。根据题目可得：CD⊥平面PAD，则AD⊥CD,PD⊥CD,即：∠PDA即为二面角的平面角，等于45O.
设计意图：如果能够快速的找到两个半平面内向公共棱印的同一个交点的垂线，则二面角可以直接找到，从而通过平面中的解三角形的方法可以求解出二面角。所以，此类型的关键在于找到同一个交点的两条垂线。
二、探索性思维：利用特殊图形寻找二面角
一般的二面角类型中，题目给的已知条件没办法可以直接寻找到二面角所对应的平面角。此时需要学生借助初中的平面几何的知识，根据空间几何体的特殊图形、形状去挖掘题目所给的条件，借助逻辑思维能力探寻相应的辅助线，找到二面角所对应的平面角，再利用解三角形的知识进行相关的数学能力的计算。
例2：正方体 ABCD-A’B’C’D’ 的棱长为 2, 求二面角 A-B’D’-C 的正弦值大小.
解题思路：△AB’D’和△CB’D’分别为等腰三角形，可取B’D’的中点E，则∠AEC即为二面角的平面角，通过棱长求得AE,EC,AC三边长，借助余弦定理求得二面角的正弦值。
设计意图：根据定义法，只需要找到公共棱上的一个点为垂足，分别在两个半平面引两条垂线，即可找到二面角。通过观察两个半平面的三角形形状，借助等腰三角形的三线合一，可以帮助学生构建本题的空间位置关系，发现本题的同一个垂足的两条垂线，从而借助正方体的特征，求得所需正弦值。
利用定义法求解的二面角会发现：二面角的构建需要两条辅助线，只能先寻找一个垂足，再寻找另一条垂线。此种方法的求解不仅需要学生严谨的逻辑思维和正确的空间想象能力，还需要强大的数学计算能力，综合考察学生的数学核心素养。因此，我们急需要寻找另一个更为直观、快捷的求解方法。
三、发散新思维：三垂线法寻找二面角
三垂线定理指出：平面内的线会与平面的斜线、垂线、射影这三条都垂直。在立体几何的垂直相关问题的教学中，三垂线可以帮助学生快速的构建空间中线线之间的垂直的位置关系，可谓解题之一大法宝。因此，在空间的二面角的求解时希望借助这个工具中快速寻找二面角的相关平面角。
例3：在三棱柱中，平面ABC，，，E是BC的中点．若G为中点，求二面角的正切值．
解题思路：通过题目的条件可以发现BA⊥面AC1，通过取AC中点M,连接EM，得到EM⊥面AC1，接着M点向AG引垂线得到垂足F，连接EF,即找到二面角的平面角为∠EFM。且为直角三角形。通过M为中点可以求得EF长度，利用相似可以得到FM长度，最后勾股可以得到EM长度。正切值即可直接得到。
设计意图：通过三垂线法来求解二面角的平面角的关键在于找到一个平面的一条垂线，从而构建关于二面角的平面角的一个直角三角形，直接利用三角函数求解。此种方法的关键在于垂线。垂线的寻找最好借助题目中原有的线面垂直的位置关系，结合线线平行找到所需的垂线。
三垂线法求解的二面角的另一个优点就在于：构建了关于二面角的一个直角三角形。可以通过计算二面角的直角三角形较为便捷的两边边长借助勾股定理突破二面角的相关三角函数值，从而快速突破二面角的问题。
以上对二面角的平面角的三种求解方法更多的是对课本中的定义的渗透，帮助学生构建立体几何中的二面角的空间想象力，培养学生的空间几何的逻辑思维能力，提高学生的立体几何的综合知识。
【参考文献】
[1]吕秀娟.二面角平面角的几种求法[J].中国校外教育,2014(08):37+47.
[2]刘立刚. 空间角及其求法教学案例[A]. .河北省教师教育学会2014年教学案例[C].:河北省教师教育学会,2015:5.