王涛
丽水中学 323000
[内容提要] 高考中向量试题往往把向量的代数性质和几何意义进行综合，在求解时若能利用化归与转化思想,通过构造几何图形模型,或解析法转化为函数模型，一般到特殊的转化、数形转化、“算两次”建立方程(等式)等方法,一般就能迎刃而解．
关键词 ： 转化、构造几何模型、构造函数模型、一般到特殊、数形转化、算两次
所谓化归与转化思想，是指在教学研究中使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想．精髓在于将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题.常见的转化方式有：一般到特殊转化、等价转化、复杂到简单转化、数形转化、构造转化、联想转化、类比转化等.体现在数学解题中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的或已解决的或易于解决的问题，就这一点来说，数学解题过程就是不断转化的过程. 本文就此类问题举例说明一些化归与转化思想在解决向量问题中的运用．
1构造转化之数学模型的化归与构造
1.1 构造几何模型
【引例1-1】（2010浙江高考数学理）已知平面向量?（）满足，且的夹角为120°，则的取值范围是 .
解：设对应向量为,.
在△OAB中, ．
设△OAB的外接圆半径为R，则由正弦定理得.
点A在△OAB的外接圆的一段弧上运动,因此,的取值范围是.
评注:已知条件中的“”的确定性—定线段，与“的夹角为120°”的确定与可变性—点A运动变化的同时角A大小的不变，从而想到点A为△OAB的外接圆上的一个动点，由此，完成了一个向量问题到圆的模型的转化，利用圆上动点与定点间距离的性质，问题的解决也就水到渠成了.
为了巩固加深学生的理解与掌握，下面来作一些变式拓展．
【变式1-1-1】设向量满足则的取值是 .
解：在△OAB中, ,
∴,
设△OAB的外接圆半径为R，则由正弦定理得.
∵,
∴点C恰好也在△OAB的外接圆的优弧AB上运动,不包括端点
∴的最大值为直径,另一方面当点C趋近于A或B时, 趋近于1，
因此,的取值范围是.
评注：由向量的夹角概念得 ，即四边形的对角互补得知点O、A、B、C共圆， 由此构造圆的模型，利用圆的性质得解.
【变式1-1-2】设向量满足则的取值范围是 .
解：在△OAB中, ,
∴,
设AB的中点为M，,
即C在以AB为直径的圆M上，显然O在圆M内，
最小值为,最大值为,
则的取值范围是.
评注：该题条件看似与上题类似，其实突破口是由向量数量积的几何意义得知动点对定线段的张角始终是直角而联想到圆，构造圆的模型，从而将向量问题转化为圆的问题，利用圆的性质得解。
【变式1-1-3】已知平面向量，满足，向量与的夹角为，且则的取值范围是 .
解：设对应向量为由已知得△OAB为正三角形，
∴点C在以AB为直径的圆上运动，点O在该圆外一定点,
则的取值范围是.
【变式1-1-4】已知向量满足，向量满足则的取值范围是 .
解：由已知得A、B相对位置已定，而C点在动，
这里的在△OAB不是特殊三角形,求OM长相对较难,下面介绍两种方法:
解法一:利用向量加法的几何性质,
,
即C在以AB为直径的圆M上，显然O在圆M外，
最小值为,最大值为,
则的取值范围是.
解法二:解析法,
易知,
设AB的中点为M，,
后面同上.
评注：由于向量兼有数与形的特征，所以可以作数与形的转化，灵活运用向量及向量加法的几何意义，通过构造三角形，求得中线OM长；另外，向量的运算都可以通过建立坐标系转化为坐标运算，即解析法，这种方法在向量的运用也是相当广泛，特别是有关动点轨迹的问题.
【变式1-1-5】已知向量,,满足,,．若对每一确定的,的最大值和最小值分别为,则对任意,的最小值是 （ ）
A． B． C． D．1
解：设对应向量为，
由已知得△OAB为等腰三角形，OB=BA，OA=1，
∴B点在线段OA的垂直平分线上运动，
∵，
∴对于每一个确定的点B，C点在以AB为直径的圆上运动，设直径，
则由圆的性质知，的最大值和最小值分别为
，
，
评注：根据条件中向量的几何性质构图是求解的关键，本题还有一个难点是：B点在线段OA的垂直平分线上运动，因此以AB为直径的圆也随之而变化.当把B点相对静止时, C点在以AB为直径的圆上运动.这是运动与静止的相互转化,使得问题得以简化.
【例1-1-6】已知模长都为1的向量满足的取值范围为 ．
解法一：解析法
建立坐标系，取，设,
由于
不妨取,
.
解法二：几何法
如图，作 ，，则利用向量的三角形加法法则得，
，△OAD是边长为1的正三角形,再延长AD至B，使DB=AD=1，则△OAB是直角三角形，
,
任作,
.
评注：两种解法都利用了向量加法法则构造了三角形几何模型，对于动点C，解法一利用了圆的参数方程设点，解法二利用向量射影的定义.
再来看一组与三角形外心有关向量问题.
【引例1-1-7】 (2012浙江省高考数学理科参考样卷9)
如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则·的值是( D )
(A)－8 (B)－1 (C)1 (D)8
【变式1-1-8】已知为的外心，，
（ ） , （ ）
A．18 B．10 C．-18 D．-10
解：（1） 解法一：E为边AC的中点（即弦中点），
则
则向量射影的几何意义知,
,
解法二:设△ABC的外接圆半径为r,
评注:解法一把向量射影的几何意义与圆外心中垂线的知识相结合, 转化平面几何问题快速得解;解法二从三角形外接圆及弦长这些元素联想到正弦定理,结合向量与三角函数的运算性质得解.并且还可以归纳出以下两个结论.
【结论1】若为的外心，，
证明： 略.
（2）解法一：利用结论1
解法二：利用外心过各边的垂直平分线的性质
解法三：设△ABC的外接圆半径为r, ,E、F分别为边AC、AB的中点（即弦中点），由圆的垂径定理得；
同理
【结论2】若为的外心，，
1.2 构造函数模型
【例1-2】在面积为2的中，E,F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是_________.
解法一：问题可转化为已知的面积为1，求的最小值.
设的点所对的边分别为，由题设知，
从而进一步转化为的最小值.
可数形结合，也可引入辅助角化为一个三角函数的形式，下略.
解法二：解析法,建立坐标系，即得目标函数,把原题转化为函数最值问题.
由题设知，的面积为1，以B为原点，BC所在直线为轴，过点B与直线BC垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，设，
则
∴，
当且仅当时取等号，
∴的最小值是.
评注:利用平面直角坐标系将向量问题坐标化，是向量代数化的一条有效途径，向量问题坐标化的优点在于思路明晰、以算取胜。
解法三：解析法与特值法.
取直角坐标系上面积为1的等腰直角三角形，B（0，0），C（2，0），A（0，2），则中位线EF所在直线上的动点P（x,1）, 则,
.
评注:其实这是错解,因为三角形的形状也会影响到所求式的值的范围.一般而言,特值法适用于已知有动点或变量的条件下的求定值、定点问题，对于求最值或变量取值范围问题要慎用.
2一般到特殊的转化之特值法、动静转化法
【例2-1】A、B、C是圆O上的三个点，CO的延长线与BA的延长线交于圆外一点D，
若则的范围是（ ）
A. B． C． D．
解：该题要抓住“CO的延长线与BA的延长线交于圆外一点D”，
考虑“圆外一点D”的两种“极端状态”——交点D恰在圆上与D在
无穷远处.
①当交点D恰在圆上, 即A、D重合，
；
②当交点D在无穷远处，即BA∥CO，
而符合已知条件的介于①②之间，故选D.
评注: 随着A、B、C的运动变化,D点也在变化在不变是条件“CO的延长线与BA的延长线交于圆外一点D”,根据化归与转化思想,作一般与特殊的转化,使得D点由运动转为静止,当D点定格在两种特殊的状态时, 向量的关系式产生了,结合所求,算两次得解.
3 数形转化“算两次”建立方程(等式)
教育家波利亚说“为了得到一个方程,我们必须把同一个量以两种不同的方式表示出来”,即将一个量“算两次”,建立相等关系,这就是算两次原理.单墫教授将算两次原理形象的比喻为“三步舞曲”，“一方面……,另一方面……,综合起来可得……”.
【例3-1】△ABC中，|AM|∶|AB|＝1∶3，|AN|∶|AC|＝1∶4.线段BN与CM交于点E，，试用．
分析:用两种方式来刻划M，E，C三点共线，并注意利用平面向量基本定理．
解 ∵M，E，C三点共线，且
由平面向量定理知，＝t＋（1－t）＝t＋，
又设＝s，
∵＝，
∴由平面向量定理知，＝s＋（1－s）＝s＋,
∵，是△ABC的两条边向量，
∴，不共线，由平面向量基本定理知，的表示唯一,
即t＝，且＝s,
解得，t＝,
∴＝ ．
评注: 由＝t＋（1－t），＝s＋（1－s），和向量表示的唯一性，得到t＝，且＝s. 通过这种“算两次”的方法使向量问题转化为解方程的问题，应反复琢磨，领会要义.算两次的方法在数学解题中屡试不爽，同一个式子、同一个图形、同一个问题从两个不同的角度出发，得到不同的式子、方程，从而为解决问题提供了方便.在平面向量中“算两次”的方法运用的最为普遍的是三点共线问题．
【例3-2】如图所示△OAB，P在所示区域内，且满足，则的最小值为 ．
解：设，,
把以上向量统一为已知条件中的向量,
,
代入得
,
由线性规划知最小值为．
评注:利用平面向量基本定理对向量“算两次”,从而建立向量的方程,转化为关于的方程,使问题得解．
世界数学大师波利亚主张:"不断地变换你的问题","我们必须一再变化它,重新叙述它,变换它,直到最后成功地找到某些有用的东西为止."解数学问题时,往往要有到很多的数学思想与方法，运用最多的就是转化思想，根据题目的条件与特征,将数学问题化归为熟悉或合适的数学模型.通过对数学模型的研究来解决实际问题,其目的是利用转化和化归的思想,化繁为简,化难为易,化陌生为熟悉, 使问题的解决更加简洁、合理、快捷、易懂. 分析条件，发现题中有垂直及线段长度两个条件，建系特征明显，可以考虑用解析法达到数形的转化；条件中有角度与线段长度，联想到构造几何模型；由于要求的问题是向量的内积，考虑到用向量法来解决，运用算两次的方法简洁得出结论．为了实现转化，相应地产生了许多的数学方法，通过这些数学方法的使用，使学生充分领略到数学思想在数学领域里的地位与作用．
参考文献：
［1］单墫.解题研究[M].上海:上海教育出版社,2007.
［２］陈浮．剖析结构特征 解法水到渠成．数学教学月刊，2011．