江明桦
浙江省宁波市逸夫中学
摘要: 数学建模是数学核心素养之一，建立模型是为了解决问题，而有时候同样的问题可以适配不同的模型，最终也能殊途同归！因此模型异构也就成了解题教学的一大法宝，本文以一道压轴题为例，探究如何从题目的相关条件出发，寻求模型异构的可能，从而形成自然的解题思路！
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反思一： 不难看出以上四种方法属于同一类，基本思路都是由∠ACD=45°→构造等腰直角三角形→构造“K型全等”→利用相似三角形对应边成比例构建方程。在具体的教学中要强调两当看到“∠ACD=45°”的条件应该很快地想到构造等腰直角三角形，而等腰三角形又是我们构造“K型全等”的基础，这样的模型搭配是非常常见的。又因为构造等腰直角三角形的方法很多，所以同一种思路下，方法也丰富多彩。
思路分析二： 本题是求线段BC的长度，一般我们求线段长度可以利用哪些模型呢？常见的方法有相似三角形对应边成比例、勾股定理、三角函数等几种方法，前面已经尝试过相似了，是不是可以考虑用勾股定理来计算？
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反思二： 解法五在构造了“K型全等后”，又构造了△AMD≌△EMH，两对全等把一些边的信息都集中到Rt△AGH中，当方程思想和勾股定理结合后，这道题迎刃而解。其实把方程思想和勾股定理相结合的例子还有很多，比如垂径定理中的半径、弦心距、弦的一半构成的直角三角形；矩形对折后产生的直角三角形。实际解题中要善于利用这样的模型，解题能力才能得到提高。
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反思三： 解法六、七很巧妙地运用了“一线三等角”模型，构造了相似三角形，再通过相似三角形对应边成比例求得BC。实际解题过程中，当有直角存在的时候，学生比较容易能想到构造“一线三直角的相似”，但当一条线上是其他度数的角时，这样的构造方法就不容易被想到，其实在教学中可以总结，向30°、45°、60°一样可以构造一线三等角，而且不同的度数在边的转换上有不同的特性！不要因为要添的辅助线多而错过了这样的“美妙的风景”。
思路分析四： 如果我们继续挖掘45°这个条件，我们发现如果把原来的直角梯形补成一个正方形，那么45°结合正方形就是我们一个熟悉的“半角旋转”模型，利用模型中的线段关系，一样能有不错的效果！
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反思四： 解法八的灵感来自于“半角旋转”模型，尤其是正方形中一个顶点引出45°这样的图形有非常丰富的结论，正是基于这点，我们大胆构造，还原模型！这个模型中有两个结论：1、∠FGC=∠AGC；2、AB+GH=AG前者让我们找到了等腰△AGD实现了边的转移，后者让我们可以利用勾股定理构建方程。可以说只有非常熟悉“半角旋转”模型的学生，才有资格享受在解该题时模型给我们带来的“红利”。
思路分析五： 当我们分析题目条件时，发现AD的长度是定值，它所对的∠ACD等于45°也是个定值，从图形构成的角度来看点C的运动轨迹应该是个圆，如果把这个隐形的圆补上去会有怎么样的效果呢？
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反思五： 解法九利用的是“定边对定角”模型，几乎就是“秒杀”！当我们把△ADC的外接圆补上去后，我们可以得到△AMD是等腰直角三角形，所以MC等于外接圆半径，再考虑AB也是定值，MF也可以求出，最后在Rt△MFC中，利用勾股定理题目迎刃而解！
思路分析六： 换一个角度来思考问题，如果能知道∠ACB的正切值，BC就能求出来，tan45°=1，高中的正切和差公式就有用武之地了。
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反思六： 解法十很明显就是高中生的解题方法了，这里用到了正切和差公式，但确是所有方法中图形最简洁的，对学有余力的同学来说适当掌握一些高中的知识是有好处的。
总结： 本题有很多解法，但它们的共同点都是从题目的关键条件出发，联想到相应的模型或公式，按照模型添辅助线，从而形成自然的解题方法。所以模型异构，是一题多解的重要思路。“问渠那得清如许，为有源头活水来”，我们平时的教学应该有意识地开展一题多解教学，帮助学生积累一些模型，了解模型的本质，理清知识体系，才能真正帮助他们提升解数学素养。