王涛
丽水中学 323000
摘要：数学教学的本质是：学生在教师的引导下能动地建构数学认知结构，并灵活使用该认知结构解决有关数学问题。数学教学的根本任务就是要造就学生良好的数学认知结构，最终提高学生数学解题能力。不断满足学生继续学习的需要，因此在数学教学中如何帮助学生建构良好的数学认知结构，采取什么样的教学策略，从而提高学生的数学解题能力。
立体几何作为高考重点考察的部分，其中的线面关系知识经常以解答题的形式出现，具体有两类问题：一是关于线面的定性问题，如平行、异面、垂直等；二是关于线面的定量问题，如线线、线面、面面之间所成的角和距离问题。本文就空间角的处理通法的探究问题→解决问题→通法提炼，谈谈我自己在教学中对数学本质的认识。
关键词：线面角 二面角 转化
1、研究背景
1.1 考点背景
立体几何是高中数学的重要内容之一，在培养学生观察能力、空间想象能力、逻辑思维能力等方面具有不可替代的特殊地位，是目前高考数学的重点考查内容。从题型上看，选择题一般考查空间点、线、面的关系，填空题一般考查几何体的三视图和表面积、体积运算，解答题第一问一般考查空间平行与垂直关系的证明，第二问一般考查学生空间角的运算（近三年依次是：18年线面角、19年线面角、20年二面角）。其中空间角的计算既是考查的重点也是考查的难点。
1.2 学生情况
我所执教的两个教学班，学生对空间关系有了一定的认识，能判断和证明一些简单的空间关系，会计算几何体的表面积与体积，但是在空间角的处理上没有形成一套行之有效的方法，历次考试中的得分率偏低。
基于上述的说明，本文试图从角的本质来探寻一些可以解决空间角的通法，简化空间求教的思维，提升学生的应试水平。
2、空间角的本质
立体几何部分的空间角主要有异面直线所成的角、直线和平面所成的角及二面角这三种。其实不管是那一类角，究其本质都是将平面中的角经过平移后产生的几何图形，所以我们要做的工作就是在具体的求解中应用各种手段（平移、构建特殊三角形）将空间角转化为平面角，再运用平面角的计算方法完成求解。简单归纳就是先“作”后“算”。
eg1：(2010·全国卷Ⅰ)直三棱柱ABC－A1B1C1中 ，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于__________ 。
解：分别取AB、AA1、A1C1的中点D、E、F，则BA1∥DE，AC1∥EF，所以异面直线BA1与AC1所成的角为∠DEF(或其补角)，
设AB＝AC＝AA1＝2，则DE＝EF＝根号2，DF＝根号6，
由余弦定理得，∠DEF＝120°.
eg2：(2010·江西高考)如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2根号3.(1)求直线AM与平面BCD所成角的大小.
解：(1)取CD中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，A、B、O、M共面，延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角．
因为OB＝MO＝根号3，MO∥AB，所以EO/EB＝MO/AB＝1/2，EO＝OB＝根号3，所以EB＝2根号3＝AB，故∠AEB＝45°.
eg3: (2010·江西高考)如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2根号3.(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．
解：(2)CE是平面ACM与平面BCD的交线．由(1)知，O是BE的中点，则四边形BCED是菱形．作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A－EC－B的平面角，即平面ACM与平面BCD所成二面角的平面角，设为θ.
因为∠BCE＝120°，所以∠BCF＝60°.所以BF＝BC·sin60°＝根号3，又AB＝2根号3，AB⊥BF，所以AF＝根号15，所以sinθ＝2根号5/5.
即所求二面角的正弦值是2根号5/5.
归纳：求解这三种空间角的总体思想是先把空间角转化为平面角，再通过解三角形达到求角的值。其一般步骤是：①找出或作出有关的平面角；②证明它符合定义；③化归到某一三角形中进行计算。
3、空间角的求解通法研究
3.1平面角的求法：常用的方法有两种
3.1.1利用三角形知识求角：正弦、余弦定理
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说明：向量的本质其实就是带方向的有向线段
此外利用直线的到角与夹角公式也是求解平面角的一种方法，但是新课标中已经作了删减，本文就不再展开。
3.2空间角的求法。空间角的本质是经过平移后的平面角，故其解决的方法就是充分运用各种有效手段将空间角还原为平面角。
求解三种空间角的总体思想是先把空间角转化为平面角，再通过解三角形达到求角的值的目的。其一般步骤是：①找出或作出有关的平面角；②证明它符合定义；③化归到某一三角形中进行计算。
4、应用举例
下面围绕近三年的文科高考试题作进一步的阐释。
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eg2、(2010）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。
（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值。
分析：本题破解的关键在于找到面A’DE的高A’M可以通过证明A’M⊥面A’DE来说明.
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4.总结提升
通过前面的探究与通法的提炼，让我们的学生掌握了一套求解空间角的行之有效的通用方法，无疑为他们的高考添砖加瓦。从中我的体会是解题教学的目的并不单纯为了求得问题的结果，真正的目的是为了提高学生分析和解决问题的能力，培养学生的创造精神。所以，在数学教学中要十分重视解题的回顾，与学生一起对解题的结果和解法进行细致的分析，对解题的主要思想、关键因素和同一类型问题的解法进行概括，可以帮助学生从解题中总结出数学的基本思想和方法加以掌握，并将它们用到新的问题中去，成为以后分析和解决问题的有力武器．